Евг. Шиховцев

Ковядина с душком

Eug. Shikhovtsev

COW EATS-19, a bit funky

За написание этой заметки я должен поблагодарить читателей предыдущего обзора, которые справедливо потребовали не мудрить с графиками и формулами, а внятно сказать: кто виноват? что делать? и что будет?

For writing this note, I must thank the readers of the previous review, who rightly demanded not to be smart with graphs and formulas, but to clearly say: who is to blame? what is to be done? and what will happen?

Да простит меня Н. П. Богданов-Бельский за эту переделку его картины «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», на которой в оригинале крестьянские дети 1895 года в уме (!) вычисляют дробь:

Forgive me N. P. Bogdanov-Belsky for this alteration of his painting “Mental Arithmetic, in the S. A. Rachinsky Peasant School”, on which in the original the peasant children of 1895 in mind (!) calculate the fraction:

Кто виноват, я не знаю. В Сети попадались данные, что в биолаборатории Уханя, где в рамках международной коллаборации изучали ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНЫЕ свойства семейства природных коронавирусов, что-то пошло не так, сотрудник случайно заразился (возможно, даже не подозревая об этом), вышел после работы из красной зоны... ну, далее вы знаете.

На мой взгляд, это наиболее вероятный сценарий. Но вероятное – синоним банального, а кто сказал, что Сочинитель нашего мира не брезглив к банальностям?

Who is to blame, I don’t know. Mentions came across on the Web that something went wrong in the Wuhan Biolaboratory, where the VERY INTERESTING properties of the family of natural coronaviruses were studied as part of an international collaboration; the employee accidentally became infected (perhaps without even suspecting it) and left the red zone after work... well, then you know.

In my opinion, this is the most likely scenario. But the probable is a synonym for the banal, and who said that the Composer of our world is not squeamish about banalities?

Уханьский институт вирусологии

Wuhan Institute of Virology

В общем, пока в мире есть ИНТЕРЕС к ОСОБЫМ свойствам ПЕРСПЕКТИВНЫХ вирусов, пока эти вирусы в разных лабораториях целенаправленно или просто наобум обрабатывают всякими мутагенами, чтобы посмотреть, что выйдет в следующем поколении, – пандемия становится лишь вопросом времени.

Профессиональное сообщество, разумеется, спешит откреститься от обвинений, и недавно, например, мою конспирологию попытались разбить ссылкой на интервью одного из виднейших вирусологов мира Евгения Кунина «Это патологический бред»*. Бредом Кунин, специалист по эволюции вирусов, называет утверждения, что SARS-CoV-2 создан искусственно. Из аругментов, кроме экспрессивной лексики, я прочёл только:

что вирус SARS-CoV-2, как и другие ранее изучавшиеся коронавирусы хорошо встраивается в генетическое дерево своего семейства;

что вставки в геноме у наиболее опасных членов семейства (SARS, MERS и т. п.) возникли эволюционным путём, но зачем – неизвестно;

что относительно эволюции SARS-CoV-2 пока вопросов больше, чем ответов;

и что в вопросе, мог ли это быть природный вирус, сбежавший из лаборатории, его наука бессильна: такое в геноме не прочтёшь.

In general, as long as there is INTEREST in the world for the SPECIAL properties of PERSPECTIVE viruses, while these viruses in various laboratories are purposefully or simply randomly treated with all sorts of mutagens to see what happens in the next generation, a pandemic becomes only a matter of time.

The professional community, of course, is in a hurry to fight back the accusations, and recently, for example, a lady tried to break my conspiracy theories with the reference to the interview with one of the most prominent virologists in the world, Eugene Kunin, “This is pathological drivel” *. Drivel Kunin, a specialist in the evolution of viruses, calls the claims that SARS-CoV-2 was created artificially. As to arguments, in addition to expressive vocabulary, I read only:

that the SARS-CoV-2 virus, like other previously studied coronaviruses, integrates well into the genetic tree of its family;

that inserts in the genome of the most dangerous members of the family (SARS, MERS, etc.) arose evolutionarily, but why is not known;

that there are more questions than answers regarding the evolution of SARS-CoV-2;

and that on the question of whether it could be a natural virus that escaped from the laboratory, its science is powerless: you can’t read this in the genome.

Спрашивается: что же здесь опровергнуто? На мой взгляд, здесь, наоборот, научно корректно сказано: да, как «ЛЕГО» этот вирус не собрали (а кто такое утверждал?), но природным, с которым поработали в лаборатории, он может быть (вот-вот!).

Если бы Кунина интервьюировал я, то следущим вопросом после таких высказываний, разумеется, стал бы очевидный: проясните, пожалуйста, как ваша наука отличает мутацию, произошедшую в природе, от мутации, произошедшей в пробирке? (Специалистам я советую здесь обратить внимание на то место интервью, где Кунин говорит о фуриновой вставке!)

Но журналисту «Медузы» А. Ершову прояснений не потребовалось, и беседа пошла на сайт с крупным подзаголовком: «Интервью вирусолога Евгения Кунина, которое нужно отправить всем, кто думает, что коронавирус создан искусственно».

Впрочем, не буду кидать камень в Ершова. То, как Кунин отказался отвечать на большинство его острых вопросов, возможно, и у меня отбило бы желание дальше мучить хорошего учёного и прекрасного политика. Ну, или можете переставить эпитеты.

The question is: what is disproved here? In my opinion, here, on the contrary, it is scientifically correct said: yes, this virus was not assembled like “LEGO” (and who claimed it?), but it can be natural, with which they worked in the laboratory (exactly!).

If I had interviewed Kunin, then the next question after such statements, of course, would be obvious: please clarify how your science distinguishes a mutation that occurred in nature from a mutation that occurred in vitro? (I advise specialists here to pay attention to the place of the interview where Kunin talks about the furin insert!)

But the journalist of Medusa A. Ershov did not need clarification, and the conversation went to the site with a large subtitle: “Interview with virologist Yevgeny Kunin, which should be sent to anyone who thinks that coronavirus is artificially created.”

However, I will not throw a stone at Ershov. The way Kunin refused to answer most of his burning questions would probably discourage me from further tormenting a good scientist and an excellent politician. Well, or you can rearrange the epithets.

Теперь выскажу своё личное мнение о том, что делать. И чего не делать.

Наиболее острый вопрос: маски. Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) долго считала, что при COVID-19 маски при игнорировании других мер защиты бесполезны*. Но от лоббистов производителей масок вы такого не услышите. В июне и ВОЗ сдалась, рекомендовав ношение медицинских масок масок медикам во время работы, лицам старше 60 лет и больным с симптомами COVID-19 и немедицинских масок всем в общественных местах, хотя и указав, что доказательств пользы от этого нет.**

Now I will express my personal opinion on what is to be done. And what isn't.

The most pressing issue: masks. The World Health Organization (WHO) long believed that with COVID-19, masks are useless when ignoring other protective measures*. But you will not hear this from lobbyists of mask makers. In June, the WHO gave up, recommending that medical masks be worn by medical workers at work, people over 60, and patients with COVID-19 symptoms, and non-medical masks to everyone in public places, although they pointed out that there was no evidence of benefit from this**.

Я ношу маску там, где это официально требуется, чтобы из-за меня не оштрафовали, например, магазин, где я покупаю еду, и чтобы не нервничали, видя меня без маски, особо мнительные окружающие.

Вообще-то я до наступления тепла носил не маску, а высокий эластичный воротник. Он примерно так же неэффективен, как маска, но за него не надо платить денег. Я, допустим, мог бы и заплатить (меня больше отталкивает то, что ради этого пришлось бы куда-то идти, искать, а во-вторых я просто ненавижу спекулянтов). Но многие, потеряв сейчас заработок, реально не в силах покупать на всю семью маски.

Мне показалось, что больше половины тех, кого я в эти дни вижу при нечастых выходах из дома, носят самодельные маски, и чем дальше, тем больше. О самоделках я уверен, что их польза – почти исключительно психотерапевтическая и юридическая.

Единственная ситуация, где они вас биологически защитят, – это если инфицированный человек без маски прямо на вас чихнёт или откашляется. В этом случае он обдаёт вас микрокапельками диаметром от 7 до 200 микрон, как пишет Википедия в статье про коронавирусы. Такие капли могут застрять в ткани даже самой примитивной повязки (хотя им ничто не помешает попасть на слизистую ваших глаз, на кожу лица, на одежду, которую вы потом снимете голыми руками, и т. д., и т. п.).

I wear a mask where it is officially required, so that, for example, the store where I buy food is not fined because of me, and so that especially suspicious people do not get nervous when they see me nearby without a mask.

Actually, before the summer heat I didn’t wear a mask, but a high elastic collar. It is about as inefficient as a mask, but you don't have to pay money for it. Well, I could have paid (it pushes me more that for this I would have to go somewhere, seek, etc., and secondly, I just hate speculators). But many, having lost their earnings now, are really not able to buy and rebuy masks for the whole family.

It seemed to me that more than half of those whom I see these days, during my infrequent exits from the house, wear homemade masks, and the further, the more. About homemade ones, I am sure that their benefits are almost exclusively psychotherapeutic and legal.

The only situation where they will biologically protect you is if an infected person without a mask sneezes directly on you, or clears his throat. In this case, he sprinkles you with droplets with a diameter of 7 to 200 microns, as Wikipedia writes in an article about coronaviruses. Such drops can get stuck in the fabric of even the most primitive swathe (although nothing will prevent them from getting onto the mucous membrane of your eyes, on your face, on clothes that you can then remove with your bare hands, etc., etc.).

Справка о размерах

https://www.rbc.ru/rbcfreenews/5e735ff09a7947be392f2bec.

Size Reference

Во всех остальных случаях, как бы велики ни были микрокапельки в момент выделения изо рта или носа инфицированного, они чрезвычайно быстро испаряются в воздухе (подышите на стекло, и вы это увидите). В результате, через десятые доли секунды вас будут окружать уже частицы диаметром в единицы микрон и ниже, то есть всего примерно в 10 раз больше вируса. Ваши тряпочки для таких частиц – это изрядной ширины коридоры, а неплотности прилегания к лицу – это 8-полосные автобаны. Половина, в лучшем случае две трети, может быть, и застрянут на поворотах, но остальные вы вдохнёте.

Я видел ссылку на анекдотичное исследование эффективности 16-слойного (!) носового платка при COVID-19*. Дышать через него было почти нереально тяжело. А более трети частиц размером 0,3 микрона (около трёх диаметров коронавируса) он при этом спокойно пропускал! Я, наверное, в такой повязке прожил бы секунд 30... Никогда не умел долго обходиться без кислорода...

In all other cases, no matter how big the micro droplets were at the moment of discharge from the infected person’s mouth or nose, they evaporate extremely quickly in the air (breathe on the glass and you will see it). As a result, in tenths of a second you will be surrounded by particles with a diameter of a few microns or lower, that is, only about 10 times the size of the virus. Your tissues for such particles are pretty wide corridors, and leaks on your face are 8-lane autobahns. Half, at best, two-thirds, may be stuck in the bends, but the rest you breathe.

I saw a link to an anecdotal study of the effectiveness of a 16-layer (!) handkerchief with COVID-19*. It was almost unreal hard to breathe through it. And more than a third of the particles 0.3 microns in size (about three diameters of the coronavirus), it easy missed! I probably would have lived in such a blindfold for about 30 seconds... I never knew how to do without oxygen for a long time...

Так что по маскам позиция моя такова: ношу самый дешёвый и не напрягающий лёгкие суррогат, пестуя чужую паранойю и оберегая окружающих от штрафов, которые с перепугу (или в заботе о пополнении бюджета) наплодили центральные и местные власти.

В то же время мне понятна логика возражений азиатских медиков и политиков против антимасочной позиции ВОЗ. Поголовное ношение масок в сотни раз снижает риск передачи вируса респираторным путём от инфицированных, в том числе и от бессимптомников. Но как вместе с китайскими масками ипортировать ещё и китайскую дисциплинированность в исполнении распоряжений властей? Для этого, боюсь, надо вначале долгими добрыми делами воспитать в массах убеждение, что власть не против народа, а для народа...

So, my position on masks is as follows: I wear the cheapest and easiest surrogate, nurturing someone else’s paranoia and protecting others from fines, which central and local authorities have spoiled with fright (or in concern about replenishing the budget).

At the same time, I understand the logic of the objections of Asian doctors and politicians against the anti-mask position of WHO. General wearing of masks reduces the risk of transmission of the virus by the respiratory route from infected people, including asymptomatic, hundreds of times. But how, along with Chinese masks, to import Chinese discipline in the execution of orders of the authorities? For this, I’m afraid, first of all, it is necessary to instill in the masses by long, good deeds the conviction that power is not against the people, but for the people...

Догадываюсь, что читатель ждёт от меня не пустых разглагольствований, а чего-то научного. Давайте я кое-что посчитаю для неэкстремальных случаев (не таких, когда прямо вам в лицо чихает, кашляет или экспрессивно орёт, брызгая слюной, инфицированный человек). То есть я буду считать, что вас окружает воздух с успевшими высохнуть респираторными частицами, размером не более 1 микрона.

Пропеллера или крыльев у таких частиц нет, и они способны лишь пассивно быть несомыми током воздуха. Ток создаёт ваше дыхание. В спокойных условиях мы вдыхаем 7 л/мин, или, что то же, 1,2•10^–4 м³/с. Допускаю, что в условиях пандемии все нервничают, а в маске дышат учащённо, поэтому увеличим до 2•10^–4 м³/с.

I guess that the reader is not expecting empty rants from me, but something scientific. Let me count something for non-extreme cases (not like when an infected person sneezes, coughs or expressively yells, spraying with saliva, right in your face). That is, I will assume that you are surrounded by air with respiratory particles that have managed to dry, no more than 1 micron in size.

Such particles do not have a propeller or wings, and they can only passively be carried by a current of air. It is your breath that creates the current. In calm conditions, we breathe 7 l/min, or, equivalently, 1.2•10^–4 m³/s. I admit that in a pandemic, everyone is nervous, and they breathe faster in a mask, so we increase it to 2•10^–4 m³/s.

У медицинских масок (фото справа*) волокна имеют толщину ~15 мкм, расстояния между ними лежат в диапазоне ~20÷120 мкм, в среднем ~61 мкм*. В масштабе снимка типичная частица подсохшего респираторного аэрозоля, которая вам угрожает, была бы примерно одним пикселем, а сам вирус ещё вдесятеро меньше. То есть если вы до сих пор думали, что частицы маска задерживает по принципу сита, то нет, это не так. Больше похоже не на сито, а на Триумфальную арку.

In medical masks (photo on the left*), the fibers have a thickness of ~15 μm, the distances between them lie in the range of ~20÷120 μm, on average ~61 μm*. At the scale of the image, a typical particle of a dried respiratory aerosol that threatens you would be about one pixel, and the virus itself is even ten times smaller. That is, if you still thought that the mask delays particles by the principle of a sieve, then no, this is not so. It looks more like not a sieve, but a Triumphal Arch.

Маска работает не за счёт непроходимости своей «клетки», а за счёт наслоения клеток. Если поставить плотно друг за другом ряд широких триумфальных арок, но хаотично сдвинутых влево и вправо относительно друг друга, и дать старт, то очень много автомобилей врежется в колонны. Пройдут только те, кто попадёт в крохотный просвет между всеми арками.

Давайте оценим геометрическую прозрачность одного слоя плетения. Возьмём очень большой фрагмент маски, например, квадратик размерами 0,76х0,76 мм (760х760 мкм). При среднем расстоянии между волокнами 61 мкм и толщине волокон 15 мкм, итого 76 мкм, по каждой стороне квадратика будет по 10 волокон и по 10 пробелов (пустот) между ними. Всего же будем иметь 10•10 = 100 пустот, каждое площадью 61•61 = 3721 мкм²; их суммарная площадь S₁ = 100•3721 ≈ 372 000 мкм².

Прозрачность P – это шанс вредной частицы проскочить один слой плетения. Мы оценим этот шанс как отношение площади пустот S₁ к общей площади квадратика S₂ = 760•760 ≈ 578 000 мкм². Получаем P ≈ 372 000/578 000 ≈ 0,64.

The mask does not work due to the obstruction of its "cell", but due to the layering of cells. If you put tightly one after another a series of wide triumphal arches, but randomly shifted to the left and right relative to each other, and give a start, then a lot of cars will crash into the columns. Only those who get into the tiny gap between all the arches will pass.

Let's evaluate the geometric transparency of one weave layer. Take a very large fragment of the mask, for example, a square measuring 0.76x0.76 mm (760x760 μm). With an average distance between the fibers of 61 μm and a fiber thickness of 15 μm, a total of 76 μm, there will be 10 fibers on each side of the square and 10 spaces (voids) between them. In total, we will have 10•10 = 100 voids, each with an area of 61•61 = 3721 μm²; their total area is S₁ = 100•3721 ≈ 372,000 μm².

Transparency P is the chance of a harmful particle slipping through one layer of weaving. We will evaluate this chance as the ratio of the void area S₁ to the total area of the square S₂ = 760•760 ≈ 578,000 μm². We get P ≈ 372,000/578,000 ≈ 0.64.

Толщина медицинских масок выражается обычно в г/м² и у лучших из предлагаемых в аптеках образцов достигает ~50 г/м². Но нам надо знать её в микронах. Для пересчёта нужна объёмная плотность материала, которая составляет 0,174 г/см³*. Отсюда находим, что толщина наилучшей медицинской маски равна:

L = (50/10000)/0,174 = 0,0287 см (287 мкм).

The thickness of medical masks is usually expressed in g/m² and in the best of the samples offered in pharmacies reaches ~50 g/m². But we need to know it in microns. For recalculation, the bulk density of the material is needed, which is 0.174 g/cm³*. From this we find that the thickness of the best medical mask is equal to:

L = (50/10000)/0.174 = 0.0287 cm (287 μm).

Далее нам надо знать толщину одного слоя плетения. Слой, состоящий из сплетённых крест-накрест волокон, должен иметь толщину, среднюю между одно- и двукратной толщиной волокна, т. е. 15÷30 мкм. Но нам для достоверности дальнейших расчётов желательно знать эту величину весьма точно. Постараемся её найти.

Найдём вначале, сколько весят два сплетённых слоя волокон. Продолжим расчёт для квадратика 0,76х0,76 мм. В нём 10 продольних и 10 поперечных волокон, итого 20, каждое длиной по 760 мкм. Общая погонная длина получается 20•760 = 15200 мкм. Волокна будем считать цилиндрами диаметром 15 мкм. Площадь сечения такого диаметра равна 177 мкм². Тогда суммарный объём, занятый волокнами в нашем квадратике, составит 177•15200 = 2,685•10⁶ мкм³ = 2,685•10^–6 см³.

Основным компонентом волокон медицинской маски является полипропилен, имеющий плотность 0,91 г/см³. Итак, вес волокон в одном слое плетения нашего квадратика равен 2,685•10^–6•0,91 = 2,443•10^–6 г. А всего при толщине материала маски 50 г/м² наш квадратик должен весить (50/10⁶)•0,76² = 28,9•10^–6 г. Отсюда найдём число слоёв плетения по всей толщине маски: N = 28,9•10^–6/(2,443•10^–6) ≈ 12 слоёв.

Можно сказать, что частица 12 раз подряд испытывает судьбу, каждый раз с шансом проскочить 64%. По правилам теории вероятностей, её итоговый шанс проскочить вам в лёгкие равен в таких условиях (0,64)¹² = 0,5%.

И, заметьте, медики ещё говорят нам, что около половины попавших в лёгкие частиц выдыхаются обратно! Так что шанс, что частица попадёт вам в лёгкие и останется там, равен ~0,25%.

Иными словами, при вдохе проникает через лучшую медицинскую маску и остаётся в лёгких примерно одна частица из 400. Остальные 399 оседают в уютной температурно-влажностной среде внутренностей вашей маски, и населяющие их коронавирусы (и прочая дрянь) начинает там осваиваться.

Next we need to know the thickness of one layer of weaving. A layer consisting of cross-woven fibers must have a thickness average between one and two times the thickness of the fiber, i.e. 15÷30 μm. But for the reliability of further calculations, it is desirable for us to know this value very accurately. We will try to find it.

First we find how much the two woven layers of fibers weigh. We continue the calculation for the square 0.76x0.76 mm. It has 10 longitudinal and 10 transverse fibers, a total of 20, each with a length of 760 μm. The total running length is 20•760 = 15,200 μm. Fibers will be considered cylinders with a diameter of 15 μm. The cross-sectional area of this diameter is 177 μm2. Then the total volume occupied by the fibers in our square will be 177•15,200 = 2.685•10⁶ μm³ = 2.685•10^–6 cm³.

The main component of the fibers of the medical mask is polypropylene having a density of 0.91 g/cm³. So, the weight of the fibers in one layer of weaving of our square is 2.685•10^–6•0.91 = 2.443•10^–6 g. And in total, with a thickness of the mask material of 50 g/m², our square should weigh (50/10⁶)•0.762 = 28.9•10^–6 g. From this we find the number of weaving layers over the entire thickness of the mask:

N = 28.9•10^–6/(2.443•10^–6) ≈ 12 layers.

It can be said that the particle experiences fate 12 times in a row, each time with a chance to slip 64%. According to the rules of probability theory, its final chance to slip into your lungs is equal in such conditions (0.64)¹² = 0.5%.

And, mind you, the doctors still tell us that about half of the particles that fall into the lungs are exhausted back! So the chance that a particle gets into your lungs and stays there is ~0.25%.

In other words, when inhaling, just about one particle out of 400 penetrates through the best medical mask and remains in the lungs. The remaining 399 settle in the comfortable temperature-humidity environment of the inside of your mask, and the coronaviruses (and other yuck) that inhabit them begin to settle there.

Однако в продаже есть и маски с плотностью не 50, а 38 г/м². Из пропорции видно, что в них число слоёв плетения равно 12•38/50 = 8. В этом случае шанс проскока в лёгкие равен уже (0,64)⁸ = 3%. Это в шесть раз хуже. (А вы, кстати, до моей заметки спрашивали у аптекарей, какова плотность покупаемой вами маски?..)

Оценить эффективность самодельной маски, конечно, невозможно: сколько рук, столько и вариантов. Умелый человек может сделать маску лучше фабричной*. Но мне не кажется, что умелых среди нас большинство...

However, there are masks on sale with a density of not 50, but 38 g/m². The proportion shows that in them the number of weaving layers is 12•38/50 = 8. In this case, the chance of a breakthrough into the lungs is already (0.64)⁸ = 3%. This is six times worse. (And you, by the way, before my note asked pharmacists what is the density of the mask you buy?..)

Of course, it is impossible to evaluate the effectiveness of a homemade mask: how many hands, so many various results. A skilled person can make a mask better than a factory one*. But it does not seem to me that most of us are skilled...

В свежей статье* о респираторной передаче вирионов SARS-CoV-2 приведено много полезных данных. Содержание этих вирусов в биологических жидкостях рта и гортани уже на стадии инкубационного периода составляет от сотен миллионов до миллиардов единиц РНК в 1 мл, а у отдельных пациентов достигает ста миллиардов в 1 мл.

A fresh article* on respiratory transmission of SARS-CoV-2 virions provides a lot of useful data. The content of these viruses in biological fluids of the mouth and larynx already at the stage of the incubation period ranges from hundreds of millions to billions of units of RNA per 1 ml, and in some patients it reaches one hundred billion in 1 ml.

При этом содержание респираторных частиц разных размеров в воздухе, выдыхаемом при разных видах поведения, С (штук/л) показано на графике справа. Как и следовало ожидать, в выдохе сильно преобладают частицы диаметром около 1 мкм. В одной такой частице, исходя из цифр предыдущего абзаца, типично содержится 1 вирион, хотя у высокозаразных пациентов это число может достигать многих десятков вирионов. Вне организма инфекционная активность вирионов каждые 1,1 часа снижается вдвое.

The content of respiratory particles of different sizes in the air exhaled by different types of behavior, C (units/l) is shown in the graph on the left. As expected, particles with a diameter of about 1 μm predominate in the exhalation. One such particle, based on the numbers in the previous paragraph, typically contains 1 virion, although in highly infectious patients this number can reach many tens of virions. Outside the body, the infectious activity of virions is reduced by half every 1.1 hours.

По расчётам авторов этой работы, риск заражения при 10-минутном посещении аптеки, куда за 20 минут до вас тоже на 10 мин. заходил человек, инфицированный SARS-CoV-2, составляет 1,2%, если помещение вентилируется механически, и 2,8% при естественной вентиляции. Никакой фармацевтической специфики в их расчёте не было, аптека была взята ими лишь как пример помещения с определённым объёмом и определённой плотностью посетителей, где инфицированный за 10 мин. оставил около 1 вириона в каждых 4 куб. м воздуха. Если же вы вошли бы в подобное помещение на 10 мин. сразу после того, как инфицированный вышел, риски заражения составили бы ~3% и ~3,8% соответственно (они сближаются, так как и механическая, и естественная вентиляция за такой краткий срок почти не успела заменить заражённый воздух).

Важно отметить, что этот расчёт сделан для ситуации до введения серьёзных карантинных мер. Так эпидемия развивалась в самом начале. Затем ситуация почти повсеместно изменилась.

According to the authors of the work, the risk of infection with a 10-minute visit to the pharmacy, where 20 minutes before you, also for 10 minutes, a person infected with SARS-CoV-2 came in, accounting for 1.2% if the room is mechanically ventilated, and 2.8% for natural ventilation. There was no pharmaceutical specificity in their calculation, the pharmacy was taken by them only as an example of a room with a certain volume and a certain density of visitors, where a person infected in 10 minutes left about 1 virion in every 4 cubic meters of air. If you would enter such a room for 10 minutes immediately after the infected came out, the risks of infection would be ~3% and ~3.8%, respectively (they converge, since either mechanical or natural ventilation almost did not manage to replace the infected air in such a short time).

It is important to note that this calculation was made for the situation before the introduction of serious quarantine measures. The epidemic developed so at the very beginning. Then the situation almost everywhere changed.

Теперь давайте оценим скромную по тяжести бытовую ситуацию во время карантинного режима. Вы, ничего не подозревая, оказались рядом со скрытым (бессимптомным) носителем, который, тоже ничего плохого о себе не зная, говорит по мобильнику. Оба вы в масках (вы – в 50-граммовой 12-слойке, а он, для большей реалистичности сценария, – в 38-граммовой 8-слойке), между вами дистанция 1,5 метра.

Now let's evaluate the everyday situation of the modest severity during quarantine. You, unsuspecting, find yourself next to a hidden (asymptomatic) virus carrier who, too, without knowing anything bad about himself, speaks on his cell phone. Both of you are masked (you are in a 50-gram 12-layer one, and he, for a more realistic scenario, is in a 38-gram 8-layer one), the distance between you is 1.5 meters.

При разговоре в течение 5 минут человек выделяет, по данным Википедии, ~1000 респираторных частиц. На выдохе, как мы оценили, задерживается в его маске 97%. И выходит наружу 3% от ~1000 частиц, то есть ~30 штук.

Объём воздуха между вами – примерно 1,5³ ≈ 4÷5 м³. Концентрация его респираторных частиц в этом объёме к концу его 5-минутной беседы будет примерно 30/(4÷5) ≈ 6 частиц в 1 м³. (Если он ни разу не чихнул, не кашлянул, не расхохотался; если его беседа не длилась дольше; если случайный сквозняк не поднёс к вам более концентрированное облачко его аэрозоля...)

За 5 минут вы вдыхаете даже в возбуждённом состоянии не более 70 литров воздуха (0,07 м³). Шанс, что одна из этих 6 частиц хотя бы снаружи подберётся к вашей маске, составит около 6•0,07/1 ≈ 42%, а шанс, что она пройдёт сквозь вашу наилучшую маску и останется в ваших лёгких, надо уменьшить ещё в 400 раз.

То есть в этой 5-минутной сценке ваш шанс инфицироваться равен ~0,1%.

Можно выдохнуть?

Я бы не торопился! Давайте рассмотрим ситуацию в более широкой перспективе.

Итак, вероятность, что вы успешно перенесли 5-минутный близкий контакт со скрытым вирусоносителем, когда вы оба были в масках и соблюдали социальную дистанцию, оказалась равной 1 – 0,001 = 0,999.

А сколько таких мимолётных, случайных 5-минутных контактов на социальной дистанции у вас бывает в день? И не сейчас, когда карантин и всё строго, а потом, когда жизнь начнёт входить в обычную колею? Вернее, вряд ли в обычную, потому что уже сейчас, по данным московских скринингов, несколько процентов москвичей оказывается скрытыми носителями. Не удивлюсь, если в будущем нас ожидает жизнь среди 10%, а то и больше бессимптомников.

Если угодно, можете назвать дальнейший расчёт пессимистичным сценарием. Я же пока склонен считать его скорее реалистичным.

Итак: пусть вы человек не слишком замкнутый. Бываете в магазинах, в общественном транспорте, на работе, в гостях – словом, в день у вас подобных мелких контактов набегает с полсотни (это только кажется, что цифра велика: проанализируйте под таким углом зрения вашу недавнюю жизнь, и вы поймёте, что она отнюдь не велика!). Стало быть, при 10%-ном скрытом (бессимптомном) вирусоносительстве в обществе, примерно пять из них окажутся скрытыми носителями. Это 5 контактов в день.

When talking for 5 minutes, a person emits, according to Wikipedia, ~1000 respiratory particles. On exhalation, as we estimated, 97% is caught in his mask. And 3% of ~1000 particles, i.e., ~30 pieces, come out.

The air volume between you is approximately 1.5³ ≈ 4÷5 m³. The concentration of his respiratory particles in this volume by the end of his 5-minute conversation will be approximately 30/(4÷5) ≈ 6 particles in 1 m³. (If he never sneezed, did not cough, did not burst out laughing; if his conversation did not last longer; if a random draft did not bring you a more concentrated cloud of his aerosol...)

In 5 minutes, you inhale, even when excited, no more than 70 liters of air (0.07 m³). The chance that one of these 6 particles will at least get to your mask will be about 6•0.07/1 ≈ 42%, and the chance that it will go through your best mask and remain in your lungs should be reduced by another 400 time.

That is, in this 5-minute scene, your chance of becoming infected is ~0.1%.

Time to breathe out?

I would not hasten! Let's look at the situation from a broader perspective.

So, the probability that you successfully went through a 5-minute contact with a hidden virus carrier when you both were masked and kept a social distance turned out to be 1 – 0.001 = 0.999.

And how many such fleeting, random 5-minute contacts at a social distance do you have per day? And not now, when quarantine and everything is strict, but afterwards, when will life begin to enter a normal rut? Though hardly normal, because now, according to Moscow screenings, several percent of Muscovites are hidden carriers. I will not be surprised if in the future we are expected to live among 10%, or even more asymptomatic carriers.

If you like, you can call the further calculation a pessimistic scenario. So far, I am inclined to consider it rather realistic.

So: let you not be too reserved. You visit stores, take public transport, work, pay visits — in short, fifty small contacts like that happen on your day (it just seems that the number is big: analyze your recent life from that angle and you will realize that it’s by no means great!). Therefore, with a 10% latent (asymptomatic) virus carriage in society, approximately five of them will be hidden carriers. These are 5 contacts per day.

В год же таких контактов у вас набежит около 1800. И знаете, как при таком сценарии изменится ваш шанс миновать инфицирование? А вот каким он станет: 0,999¹⁸⁰⁰ = 16,5%. Ровно как в самой смертельной русской рулетке, где в барабане на 6 патронов всего одно пустое гнездо...

In the year you will run about 1800 of these contacts. And you know how, in such a scenario, your chance to bypass the infection will change? This is what it will become: 0.999¹⁸⁰⁰ = 16.5%. Just like in the deadliest Russian roulette, where in the drum for 6 rounds there is only one empty slot ...

Но, честно говоря, это довольно глупый (глупо-оптимистичный) расчёт. Он основан на совершенно невероятном предположении, что за целый год после ослабления эпидемии вы ни разу не встретили беспечного, глупого или мизантропичного вирусоносителя без маски (дзинь: умножение вероятности заражения в 200 раз на каждый такой случай), или человека, пусть даже и в маске, но случайно под маской чихнувшего или кашлянувшего (дзинь-дзинь: умножение вероятности в ~20÷100 раз за счёт многократного увеличения числа мелких выделяемых частиц), что маска ни разу ни у вас, ни у него не сдвинулась (дзинь-дзинь ещё в 200 раз), что маски всегда и у всех были те, для которых я считал, медицинские, а не самодельные, и у вас – высшего качества, и т. п.

Вот скажите себе честно: вы такую картину считаете реальной? Тогда будьте последовательны: немедленно идите и купите на все деньги лотерейных билетов!

But frankly, this is a pretty stupid (stupid-optimistic) calculation. It is based on the completely unbelievable assumption that for the whole year after the epidemic weakened, you never once met a careless, stupid or misanthropic virus carrier without a mask (tink: multiplying the probability of infection by 200 times for each such case), or a person, even in a mask, but sneezed or coughed once accidentally under the mask (tink-tink: multiplying the probability by ~20÷100 times due to the multiple increase in the number of small particles released); that the mask never slipped away from you or a passerby (tink-tink 200 times more again); that everyone and always had masks those for which I made calculations: medical, not self-made, and yours being of the highest quality; etc.

Answer yourself honestly: do you think this picture is real? Then be consistent: immediately go and buy lottery tickets with all the money!

Если повторить цепочку расчётов, но в 25% из 1800 контактов посчитать вероятность плохого исхода хотя бы не в 200, а в 10 раз выше, и в 1% контактов – в 20 раз выше, то общая вероятность весь год проскакивать мимо чужих респираторных частиц с шипастыми наездниками примерно составит:

            (1 – 0,001)¹³³²•(1 – 0,01)⁴⁵⁰•(1 – 0,02)¹⁸ ≈ 0,20%.

Это ~1/500. Извлекая корни подходящих степеней из этого числа, можно рассчитать, что при таком сюжете 50%-ная вероятность заражения достигается примерно на 42-й день. Грубо говоря, неудачники инфицируются менее чем за 6 недель, а счастливчики – более чем через 6 недель.

If we repeat the chain of calculations, but in 25% of 1800 contacts we accept the probability of a bad outcome at least not 200, but 10 times higher, and in 1% of contacts – 20 times higher, then the overall probability to slip past other people's respiratory particles with spiked riders all year will be approximately:

            (1 – 0.001)¹³³²•(1 – 0.01)⁴⁵⁰•(1 – 0.02)¹⁸ ≈ 0.20%.

This is ~1/500. Extracting the roots of suitable degrees from this number, it can be calculated that with this plot, a 50% chance of infection is achieved on about the 42nd day. Roughly speaking, losers become infected in less than 6 weeks, and lucky ones become infected in more than 6 weeks.

Хочу обратить ваше внимание на то, что эти расчёты очень чувствительны к двум исходным оценкам:

● вашей контактности

● и доле скрытых (бессимптомных) вирусоносителей среди тех, с кем вы общаетесь (причём здесь под общением нужно понимать абсолютно любой контакт на расстоянии до 1,5÷2 метров на открытой местности и до ~3 метров в помещениях при контакте длительностью от нескольких минут и выше).

Чтобы не утомлять вас чередой цифр, я помещу ниже график, на котором показано, как изменится «счастливая вероятность» P_$ (вероятность не инфицироваться за год) при более низких, чем в рассмотренном выше сценарии, показателях вашей контактности (С, контактов в день) и общественного скрытого вирусоносительства (I, %).

I want to draw your attention to the fact that these calculations are very sensitive to two initial estimates:

● your sociability

● and the percentage of latent (asymptomatic) virus carriers among those with whom you communicate (note, communication here means absolutely any contact at a distance of up to 1.5–2 meters in an open area and up to ~3 meters in rooms if a contact lasts several minutes or more).

In order not to bore you with a series of numbers, I will put below a graph that shows how the “happy probability” P_$ (the probability of not becoming infected in a year) will change at lower than in the above scenario indicators of your sociability (С, contacts per day ) and the share of hidden virus carriers in your society (I, %).

Как видим, на этом корабле намного больше шансов у нелюдимов вроде Плюшкина (или меня), а не у компанейских людей вроде Чичикова*. Возможно, сравнив зелёные и фиолетовые кривые, кто-то задумается о смене своей модели общественного поведения. Стоило бы!

_______

* На графике эти персонажи «Мёртвых душ» Гоголя представлены в рисунках П. М. Боклевского (Плюшкин) [http://sch1262.ru/md/plu.html] и А. Лаптева (Чичиков на балу у губернатора) [https://www.literaturus.ru/2016/11/test-mertvye-dushi-gogol-voprosy-otvety-viktorina.html].

А вот за какие сроки t_10% и t_50% для Плюшкиных, Чичиковых и всех промежуточных персонажей накопятся, соответственно, 10%-ные и 50%-ные вероятности инфицирования:

As you can see, on this ship there are much more chances for unsociable person like Plyushkin (or me), and not for companionable people like Chichikov*. Perhaps comparing the green and purple curves, someone will think about changing their model of social behavior. Worth it!

_______

* On the graph, these characters of Gogol's “Dead Souls” are represented in the drawings by P. M. Boklevsky (Plyushkin) [http://sch1262.ru/md/plu.html] and A. Laptev (Chichikov at the governor’s ball) [https://www.literaturus.ru/2016/11/test-mertvye-dushi-gogol-voprosy-otvety-viktorina.html].

And below it is shown how much time (t_10% and t_50%) it will take for the Plyushkins, Chichikovs and all intermediate characters to accumulate, respectively, 10% and 50% probability of infection:

При малых количествах скрытых вирусоносителей все сроки накопления тревожных и опасных вероятностей, как видим, очень быстро возрастают и при I < ~1% исчисляются уже годами, что не может не радовать. Если повезёт с разработкой вакцины против COVID-19, то об этих сроках и вероятностях можно будет не тревожиться. Но не все вирусологи оптимистичны в предсказаниях сроков появления такой вакцины, поэтому не исключено, что через год или два эти графики ещё не потеряют актуальности. Хотя и не хотелось бы этого.

И я ещё раз хочу напомнить, что сам я сценарий, стоящий за этими графиками, считаю сильно идеализированным и думаю, что в большинстве случаев за год вы и окружающие столько раз случайно нарушите меры безопасности, что принятые в данном расчёте пропорции «умеренно опасных» и «заметно опасных» контактов и сами показатели этой опасности будут мало что общего иметь с действительностью...

With small amounts of hidden virus carriers, all the periods of accumulation of alarming and dangerous probabilities, as we see, increase very quickly and at I < ~1% reach years, which cannot but rejoice. If you are lucky with working-out of a vaccine against COVID-19, then we will not have to worry about these terms and probabilities. But not all virologists are optimistic in predicting the timing of the appearance of such a vaccine, so it is possible that in a year or two these schedules will not lose relevance. Although I would not want this.

And I want to remind once again that I myself consider the scenario behind these graphs to be very idealized and I think that in most cases during the year you and those around you will accidentally violate security measures so much that the proportions of “moderately dangerous” and “noticeably dangerous” contacts adopted in this calculation and the indicators of this danger themselves will have little to do with reality...

И, если раскрыть все карты, то и математика, представленная выше, тоже слишком упрощает реальность, причём в сторону завышения ожиданий. Такие формулы и графики работали бы, если бы речь шла не о респираторных частицах, а о 100%-но инерционных частицах (так сказать, тяжёлых пушечных нано-ядрах). Только у них полёт сквозь слои маски шёл бы по прямой линии, и тогда вероятность застрять (попасть в одно из волокон) можно было бы считать так, как рассказано выше.

На самом деле крохотные респираторные частицы довольно сильно чувствуют вязкость воздуха, который их несёт. Летят они не по прямой, а по линиям тока воздуха. А эти линии огибают волокна. Если угол огибания слишком крут, тогда инерция, присущая даже маленьким частицам, отклонит их от линии тока и отбросит на волокно маски. Если же угол не слишком крут, то частица обогнёт волокно, стоящее у неё на пути, и продолжит путь по маске. Это сильно повышает фактическую прозрачность маски по сравнению с геометрической прозрачностью, на которой основаны приведённые выше выкладки.

В коронавирусном досье* сайта «Биомолекула» приводится ссылка на исследование 2015 г.**, показавшее, что через медицинскую маску проходит 44% респираторно-вирусных частиц – возбудителей пневмоний и респираторных заболеваний (первый автор этого единственного по сей день исследования Чандини Макинтайр и три из её соавторов в связи с эпидемией COVID-19 опубликовали 30 марта специальное заявление*** с подтверждением актуальности выводов 2015 года в новой ситуации). В работе не уточняются технические параметры масок, но по контексту статьи можно судить, что вероятнее всего исследовались 12-слойные маски. В этом случае фактическая прозрачность одного слоя равна 0,44^1/12 = 93%: это менее, чем в полтора раза выше геометрической прозрачности (64%), – а результат ухудшается в 88 раз! Маски из различных тканей оказались ещё хуже, пропуская почти 97% респираторно-вирусных частиц, но о самодельных масках мы ещё поговорим отдельно ниже.

And, if I reveal all the cards, then the mathematics presented above also simplifies reality too much, and toward overestimation of expectations. Such formulas and graphs would work if it were not about respiratory particles, but about 100% inertial particles (so-to-say heavy nano-cannonball). Only in them the flight through the mask layers would go in a straight line, and then the probability of getting stuck (getting into one of the fibers) could be calculated as described above.

In fact, tiny respiratory particles quite strongly sense the viscosity of the air that carries them. They fly not in a straight line, but along the air flow lines. And these lines go around the fibers. If the bending angle is too steep, then the inertia inherent in even small particles will deflect them from the streamline and drop onto the mask fiber. If the angle is not too steep, then the particle will overtake the fiber standing in its path and continue the way through the mask. This greatly increases the actual transparency of the mask compared to the geometric transparency on which the above calculations are based.

The coronavirus dossier* of the Biomolecule website provides a link to a 2015 study**, which showed that 44% of respiratory-viral particles – pathogens of pneumonia and respiratory diseases – pass through a medical mask (the first author of this only study to date, Chandini MacIntyre and three of her co-authors in connection with the COVID-19 epidemic issued a special statement on March 30*** confirming the relevance of the conclusions of 2015 in the new situation). The technical parameters of the masks are not specified in the work, but according to the context of the article it can be judged that 12-layer masks were most likely investigated. In this case, the actual transparency of one layer is 0.44^1/12 = 93%: this is less than one and a half times higher than the geometric transparency (64%), and the result deteriorates 88 times! Masks from various tissues turned out to be even worse, letting in almost 97% of respiratory-viral particles, but we will talk about home-made masks separately below.

Для результатов Макинтайр с сотрудниками даже нет смысла строить графики рисков или скоростей заражения. Вероятность заполучить в лёгкие чужую респираторную частицу при любом, даже самом идеальном, из вышеописанных сценариев гарантирована уже после нескольких часов дыхания через лучшую медицинскую маску...

For the results of McIntyre et al, it does not even make sense to plot risk or infection rates. The probability of getting an alien respiratory particle into the lungs with any, even the most ideal, of the above scenarios is guaranteed after several hours of breathing through the best medical mask ...

Однако будьте очень внимательны к терминологии! Я выше всё время писал: «инфицироваться». То есть получить в лёгкие одну микрочастицу, на которой, может быть, всего один или несколько вирионов. Это далеко не то же, что «заболеть»!

Худо-бедно, эволюция над нами трудилась, и известной степени патогенных атак мы можем противостоять. Чтобы заболеть, нужно получить в организм достаточно много вирионов. К сожалению, я не могу оценить, сколько именно. Во-первых, это сильно зависит от индивидуального иммунитета к COVID-19, а во-вторых, от среднестатистических показателей патогенности его вирионов. Пока что я не нашёл научных данных, чтобы сделать хотя бы грубые оценки того или другого.

Ну, может быть, это даже хорошо. Правда ведь может нас и разочаровать, а неизвестность оптимисту всегда оставляет большой простор для надежды! Но если кто-то из читателей-вирусологов через механизм обратной связи внизу страницы сможет просветить меня относительно числа поглощённых вирионов, при которых заболевание COVID-19 с высокой вероятностью произойдёт, и числа вирионов в респираторных частицах, я, во-первых, буду признателен, а во-вторых, сразу же добавлю сюда эти сведения.

However be very attentive to terminology! I wrote all the time above: "to become infected." That is, to get into the lungs one microparticle, on which, perhaps, there is only one or several virions. This is far from the same as "getting sick"!

At the very least, evolution has worked on us, and we can resist a certain degree of pathogenic attacks. To get sick, you need to get enough virions into the body. Unfortunately, I can’t estimate exactly how much. Firstly, it strongly depends on the individual immunity to COVID-19, and secondly, on the average indicators of the pathogenicity of its virions. So far, I have not found scientific data to make even rough estimates of one or the other.

Well, maybe that’s even good. The truth, after all, may disappoint us, and the uncertainty always leaves to the optimist a lot of room for hope! But if one of the virological readers through the feedback mechanism at the bottom of the page can enlighten me regarding the number of absorbed virions at which COVID-19 disease will occur with a high probability and the number of virions in respiratory particles, I, firstly, would be grateful and secondly, I’ll immediately add this information here.

Однако я мысленно уже слышу реплику Проницательного Читателя*, который быстро сообразил, как много зависит от толщины материала защитной маски, и отметил, что аптечные маски имеют толщину менее 1 мм: «Минуточку, я знаю, что надо делать! Я сошью марлевую маску и положу внутрь сантиметровый слой ваты!».

_______

* Можно ли без него в разделе, озаглавленном «Что делать?»! В романе Чернышевского, из заглавия которого этот вечный вопрос вошёл в русский язык и менталитет, Проницательный Читатель – постоянный собеседник и критик автора.

Что же, давайте посмотрим, что нам даст такая маска. Волокна у ваты немного толще, чем в медицинских масках, примерно 15÷25 мкм.

However, I already mentally hear the remark of the Insightful Reader*, who quickly realized how much depends on the thickness of the material of the protective mask, and noted that the pharmacy masks have a thickness of less than 1 mm: “Wait a minute, I know what to do! I will sew a gauze mask and put a centimeter layer of cotton wool inside!”

_______

* Is it possible without him in the section entitled “What is to be done?”! In the novel by Chernyshevsky, from the title of which this eternal question entered the Russian language and mentality, the Insightful Reader is a constant companion and critic of the author.

Well, let's see what such a mask will give us. The fibers of cotton wool are slightly thicker than in medical masks, about 15÷25 microns (μm).

О расстояниях между волокнами ваты можно судить по микрофото справа*. Они на вид несколько крупнее расстояний между волокнами медицинской маски. Выраженной слоистости нет, мы видим 3D-хаос. Судя по белой масштабной чёрточке внизу снимка, отмеряющей 100 мкм, «скважины» поперечником в 50 и более мкм здесь не редкость.

The distances between the cotton fibers can be judged by the micrograph on the left*. They look somewhat larger than the distances between the fibers of the medical mask. There is no pronounced layering, we see 3D chaos. Judging by the white scale bar at the bottom of the picture, measuring 100 μm, "wells" with a diameter of 50 or more μm are not uncommon here.

Характеризовать такие структуры принято объёмным показателем α. Это доля объёма фильтра, занятая волокнами (остальной объём – это пустота, вернее, воздух между волокнами). Зная объёмную плотность медицинской ваты (не более 0,021 г/см³*; примем 0,02 г/см³) и плотность чистой целлюлозы, из которой состоят хлопковые нити ваты (1,5 г/см³), находим, что у медицинской ваты α ≈ 0,02/1,5 ≈ 0,0133 (1,33%). То есть 98,7% в такой вате – воздух.

It is customary to characterize such structures by the volume indicator α. This is the fraction of the filter volume occupied by the fibers (the remaining volume is the void, or rather, the air between the fibers). Knowing the bulk density of medical cotton wool (not more than 0.021 g/cm³*; we will take 0,02 g/cm³) and the density of the pure cellulose that cotton wool fibers consist of (1.5 g/cm³), we find that medical cotton wool has α ≈ 0,02/1,5 ≈ 0,0133 (1,33%). That is 98.7% in such cotton wool is air.

3D-хаотичность структуры ваты не позволяет применить тот приём вероятностей прохождения слоёв, который мы применили для расчёта проницаемости медицинской маски (приём завысил эффективность маски в 88 раз, но хотя бы верно показал связь проницаемости маски с её толщиной). Я посмотрел несколько недавних основательных работ, и российских и зарубежных*, и вот что там сообщается:

● «слои» (о слоях в таких структурах говорить без кавычек нельзя) очень слабо влияют друг на друга;

● видимо, из-за этого эффекта степень захвата частиц возрастает при росте толщины фильтра не экспоненциально (как было у нас в случае с медицинской маской), а просто линейно (это гораздо менее эффективно);

● наиболее вероятный механизм захвата частиц, по крайней мере в той области размеров частиц, волокон и скоростей движения воздуха через фильтр, которые характерны для дыхания человека через ватно-тканевый фильтр, примерно таков:

– ток воздуха обтекает волокна, создавая вокруг них застойные зоны, а основное движение совершается в пустотах между волокнами, причём чем дальше от волокон, тем быстрее;

– однако несомые воздухом частицы совершают в потоке броуновское движение; из-за этого движения частицы могут смещаться, в том числе, и «поперёк» тока и, преодолевая застойную зону, касаться волокна (и фиксироваться на нём);

– броуновское отклонение частицы от исходного положения в потоке прямо пропорционально корню квадратному из времени движения частицы внутри фильтра и обратно пропорционально корню квадратному из размера частицы;

● эффективность улавливания частиц фильтром E (%) сильно возрастает при уменьшении диаметра волокон: примерно как E ~ 1/d^2,8.

The 3D randomness of the structure of the cotton wool does not allow us to apply the technique of layer propagation probabilities that we applied to calculate the permeability of the medical mask (the technique overestimated the effectiveness of the mask by 88 times, but at least correctly showed the relationship of the permeability of the mask with its thickness). I looked at several recent solid works, both Russian and foreign*, and here's what they say:

● “layers” (one cannot talk about layers in such structures without quotes) have very little effect on each other;

● apparently, because of this effect, the degree of particle capture increases with increasing filter thickness not exponentially (as was the case with the medical mask), but simply linearly (this is much less effective);

● the most likely mechanism for particle capture, at least in that region of particles and fibers sizes, and air velocities through the filter, which are typical for human breathing through a cotton-cloth filter, is approximately as follows:

– an air current flows around the fibers, creating stagnant zones around them, and the main movement takes place in the voids between the fibers, and the farther from the fibers, the faster;

– however, particles carried by air make a Brownian motion in the stream; due to this movement, particles can be displaced, including, “across” the current and, overcoming the stagnant zone, touch the fiber (and be fixed on it);

– the Brownian deviation of the particle from its initial position in the flow is directly proportional to the square root of the time the particle moves inside the filter and is inversely proportional to the square root of the particle size;

● the efficiency of particle capture by the filter E (%) increases significantly with decreasing fiber diameter: approximately as E ~ 1/d^2.8.

На левом рисунке ниже схематично изображён разрез ваты вдоль одного из «слоёв». Черным показаны срезы волокон: у тех, которые оказались почти перпендикулярны к плоскости разреза, сечение похоже на окружность, а чем меньше угол пересечения волокна с плоскостью, тем более вытянутым эллипсом будет сечение такого волокна. Оттенки синего передают поле распределения скоростей. У границ волокон скорости спадают к нулю (белый цвет), вдали от волокон они максимальны (синий цвет).

The left figure below schematically shows a section of cotton wool along one of the “layers”. Slices of fibers are shown in black: for those that are almost perpendicular to the plane of the cut, the cross-section is similar to a circle, and the smaller the angle of intersection of the fiber with the plane, the more elongated the ellipse will be the cross-section of such a fiber. Shades of blue display the velocity distribution field. At the boundaries of the fibers, the velocities decrease to zero (white), far from the fibers they are maximum (blue).

Красными сферами изображены границы, в которых за счёт броуновского движения может в данный момент оказаться респираторная частица, несомая потоком. Подразумевается, что поток извилисто омывает на своём пути через фильтр всё новые и новые волокна. То есть на следующих по глубине (или, что то же, по времени) срезах эллипсы будут иными и в иных местах, и число их может быть иным, но при этом сохранится важная черта конфигурации: эллипсы на периферии, а в центре свободно.

Понятно, что если бы мы зафиксировали координаты по длине и ширине фильтра и смещали плоскость сечения вглубь фильтра, то вскоре срез какого-то волокна неизбежно оказался бы в центре. Но наша плоскость сечения не фиксирована на фильтре, она фиксирована скорее на оси потока и маневрирует по чаще волокон вместе с этой осью.

Воздух может течь сквозь фильтр двояко: или как медленная лесная речка с едва колышащимися плетями водорослей, или как бурный горный ручей, где всё постоянно перемешивается. Первый тип течения называется ламинарным, второй – турбулентным, и наука, благодаря О. Рейнольдсу (1842–1912, фото, которое я старательно отреставрировал, см. ниже), с 1880-х гг. умеет определять, какой из них будет реализован, если известны объёмный расход воздуха Q, его вязкость ν и некое расстояние, характеризующее поперечный размер струи.

В данном случае на роль такого расстояния, очевидно, может претендовать средний размер просвета между волокнами a (это «поперечник» свободного пространства между чёрными овалами на левом верхнем рисунке). Для ваты я из геометрических соображений получил a ≈ (1,1÷1,3)•d/α^0,5 ≈ (9÷12)•d (это объясняет, почему фильтры с тонкими волокнами лучше: там просветы «скважин» будут мельче).

The red spheres depict the boundaries in which due to the Brownian motion, a respiratory particle, carried by the stream, may at the moment appear. It is understood that the stream sinuously washes in its path through the filter more and more new fibers. That is, at the following depth (or, what is the same, time) sections, the ellipses will be different, in other places, and their number may be different, but at the same time, an important feature of the configuration will remain: the ellipses are on the periphery, and the center is free.

It is clear that if we fixed the coordinates along the length and width of the filter and shifted the section plane into the depth of the filter, then soon a section of some fiber would inevitably be in the center. But our section plane is not fixed on the filter, it is rather fixed on the flow axis and maneuvers through the thicket of fibers along with this axis.

Air can flow through the filter in two ways: either as a slow forest river with barely swaying lashes of algae, or as a rugged mountain stream, where everything is constantly mixed. The first type of flow is called laminar, the second – turbulent, and science, thanks to O. Reynolds (1842–1912, a photo that I carefully restored, see below), since the 1880s knows how to determine which one will be realized if the air volumetric flow rate Q, its viscosity ν and a certain distance characterizing the transverse jet size are known.

In this case, the role of such a distance, obviously, can be claimed by the average size of the gap between the fibers a (this is the "diameter" of the free space between the black ovals in the upper left figure). For cotton wool, from geometric considerations, I got a ≈ (1.1÷1.3)•d/α^0.5 ≈ (9÷12)•d (this explains why filters with thin fibers are better: there the gaps of the “wells” will be smaller).

При ламинарном течении стартовая координата частицы (то есть центр её красной сферы) при движении через фильтр в какой-то мере сохраняла бы свою относительную удалённость от волокон (назовём этот параметр x: на оси потока x = 1, на расстоянии a от оси x = 0), и теория броуновского движения могла бы даже предсказать*, как в среднем будут зависеть размеры красных сфер r от параметра x. Вид этой зависимости показан на графике вверху справа, и на левом рисунке размеры красных сфер изображены в соответствии с этой зависимостью.

_______

* Я, может быть, позже сделаю в конце заметки приложение, где «броуновские» материи будут изложены подробнее, а пока прошу верить мне на слово.

In a laminar flow, the starting coordinate of a particle (that is, the center of its red sphere), when moving through a filter, would to some extent maintain its relative distance from the fibers (let's call this parameter x: on the axis of the flow x = 1, at a distance a from the axis x = 0), and the theory of Brownian motion could even predict* how on average the size of the red spheres r depends on the parameter x. The profile of this dependence is shown in the graph at the top right, and in the left figure the dimensions of the red spheres are shown in accordance with this dependence.

_______

* Maybe I will later make an appendix at the end of the note, where the “Brownian” matters will be described in more detail, but for now I ask you to take my word for it.

Однако в этом случае можно было бы и без проверки по Рейнольдсу оценить толщину фильтрующего слоя, достаточную для задержания вредных частиц, и эти оценки, когда я их сделал, оказались несуразно завышены (имели порядок метров!). Проверка по Рейнольдсу подтвердила, что при дыхании воздух через ватный фильтр течёт турбулентно (Re ≈ 1,7•10⁵). Красные сферы по размерам не привязаны к удалённости от оси потока, как на рисунке и графике выше, они всё время хаотично перемешиваются, и гораздо больше из них при этом пересекается с волокнами и задерживается.

Но всё же волокна ваты примерно в 1,33 раза толще, чем в медицинских масках, и по данным тех работ, на которые я выше ссылался (см., например, рис. 22 в диссертации Капустина), эффективность улавливания частиц должна у ваты быть хуже примерно в 1,33^2,8 ≈ 2,2÷2,3 раза.

However, in this case, it would be possible to estimate the thickness of the filter layer, sufficient to retain harmful particles, without checking by Reynolds, and these estimates, when I made them, were absurdly overestimated (they were of the order of meters!). Verification by Reynolds confirmed that during breathing, air through a cotton filter flows turbulently (Re ≈ 1.7•10⁵). The red spheres in size are not tied to the distance from the flow axis, as in the figure and graph above, they mix randomly all the time, and much more of them intersect with the fibers and become fixed.

But still, the fiber of the cotton wool is about 1.33 times thicker than in medical masks, and according to the works to which I referred above (see, for example, Fig. 22 in Kapustin's dissertation), the efficiency of particle capture should be in the cotton wool worse by about 1.33^2.8 ≈ 2.2÷2.3 times.

Сопротивление дыханию у ваты оказалось маленьким. Я посчитал двумя разными способами, один из российского, другой из зарубежного источника, но по порядку величин результаты совпали. В слое ваты толщиной 1 см при дыхании теряется не более нескольких Паскалей давления. А разрежение при вдохе, за счёт которого воздух входит в лёгкие, – это около 1000 Паскалей. Интуитивно в такое малое сопротивление дыханию мне поверить трудно, но и формулам не верить нет причины.

При оценке эффективности самодельных масок надо ещё учитывать, насколько они гарантируют носителя от подсоса воздуха. Если не предусмотреть способа очень плотно прижать маску к лицу по всему периметру, то может оказаться, особенно у толстых и плотных масок, что воздушное сопротивление маски сравнимо или даже выше, чем сопротивление неплотности (щели) на краю маски. Тогда в лёгкие через эту щель пойдет та или иная доля неочищенного воздуха. Закон наименьшего сопротивления!

Cotton wool breathing resistance was small. I counted it in two different ways, one from a Russian source, the other from a foreign one, but the results coincided in order of magnitude. In a layer of cotton wool 1 cm thick, when breathing, no more than a few Pascals are lost in pressure. Compare: a rarefaction during inhalation, due to which air enters the lungs, is about 1000 Pascals. It is difficult for me to believe intuitively in such a small resistance to breathing, but there is no reason not to believe the formulas either.

When evaluating the effectiveness of homemade masks, one must also take into account how much they guarantee the carrier from air leaks. If you do not provide a way to very tightly press the mask to the face around the perimeter, then it may turn out, especially for thick and dense masks, that the air resistance of the mask is comparable to or even higher than the leakage (gap) resistance at the edge of the mask. Then this or that fraction of untreated air will go into the lungs through this gap. The law of least resistance!

Подведу итог.

К сожалению, найти какие-либо данные для оценки эффективности ватной маски мне не удалось. Но из представленных выше общих соображений я бы сделал вывод, что высокой эффективности от неё ждать трудно:

● линейный, а не экспоненциальный закон эффективности поглощения потребует, возможно, значительной толщины ватного слоя, чтобы обеспечить высокую степень очистки воздуха от мелких, около-микронных респираторных частиц;

● утолщение ватного слоя приведёт к затруднённости дыхания и может привести к подсосу воздуха.

To summarize.

Unfortunately, I could not find any data to evaluate the effectiveness of the cotton mask. But from the general considerations presented above, I would conclude that it is difficult to expect high efficiency from it:

● a linear, rather than an exponential, law of absorption efficiency will probably require a significant thickness of the cotton layer to provide a high degree of air purification from small, near-micron respiratory particles;

● thickening of the cotton layer will make breathing difficult and may lead to air leaks.

Надеюсь, теперь вам понятнее моя позиция по (не)ношению масок. В то же время мне понятна и позиция государства и той преобладающей части общества, которая в России упоённо смотрит государству в телевизионный третий глаз. Ну, что же! Рунет уже полон остроумных заимствований* из оперетты Кальмана 1926 года «Die Zirkusprinzessin», и я тоже процитирую её главного героя, русского князя Fedja Palinski („Mister X“): «Закутай рыло – и дуй вперёд!» Ой, простите: «Лицо укройте – и думы прочь!»

I hope you now understand better my position on (not) wearing masks. At the same time, I understand the position of the state and that prevailing part of society, which in Russia stubbornly looks at the state's television third eye. Well then! The Runet is already full of witty borrowings* from Kalman’s 1926 operetta Die Zirkusprinzessin, and I will also quote her main character, the Russian prince Fedja Palinski (“Mister X”): “Do wrap your snout and go ahead!” Oh, excuse me: "Do mask your kisser – and don't reflect!"

Что же ещё кроме масок стоит применять?

Учитывая, что вирионы SARS-CoV-2 удивительно живучи не только в воздухе, но и на всевозможных поверхностях, не подлежит сомнению польза частого мытья, дезинфекции и проветривания помещений. А вот все остальные советы, которые мне тут и там попадались, я не стану даже повторять. Моё убеждение (и его разделяют профессионалы): если и подействует, то лишь из-за эффекта плацебо.

What else besides masks is worthy of application?

Given that the SARS-CoV-2 virions are surprisingly tenacious not only in the air, but also on all kinds of surfaces, there is no doubt the benefits of frequent washing, disinfection and ventilation of rooms. But all the other tips that I came across here and there, I won’t even repeat. My belief (and it is shared by professionals): if it works, it is only because of the placebo effect.

Будущее, как и его предсказания, проясняются лишь постфактум. Все гадательные шары мира (ну, по крайней мере те из них, которые китайские труженики снабдили встроенным коронным разрядом, как на картинке вверху) столько лет показывали нам Его, а ясно стало только сейчас!

Тем не менее рискну ступить на неблагодарную стезю футуролога-любителя и поделюсь с вами теми расчётами и графиками, которые я в тиши своей крепости строю уже с полмесяца.

В конце предыдущего материала я писал, что у смертности (по крайней мере, на развитой стадии эпидемии COVID-19) должна быть определённая связь с числом новых инфекций, случившихся примерно за две недели до этого. И, переключившись уже на другие темы, я время от времени посматривал мировую статистику под этим углом зрения. Образцовой оказалась статистика Германии. Там эпидемия приняла широкие масштабы, и там, в силу национального характера, статистика и смертей и заражений, очевидно, более надёжна, чем в других странах.

The future, like its predictions, is clarified only after the fact. All the fortune-telling balls of the world (well, at least those of them that the Chinese workers provided with a built-in corona discharge, as in the picture above) have shown Him for so many years, but it became clear only now!

Nevertheless, I venture to step on the ungrateful path of an amateur futurologist and share with you those calculations and graphs that I have been building in the silence of my fortress for half a month already.

At the end of the previous article, I wrote that mortality (at least at the advanced stage of the COVID-19 epidemic) should have a definite connection with the number of new infections that occurred about two weeks before. And, switching to other topics already, from time to time I looked at world statistics from this angle. The statistics of Germany turned out to be exemplary. There the epidemic has spread on a large scale, and there, due to its national character, statistics on both deaths and infections are obviously more reliable than in other countries.

Чтобы сравнивать данные в разных странах, нужна какая-то специальная система координат, и она для COVID-19 уже сложилась. Первым днём эпидемии считают день, когда зарегистрировано 10 или более смертей, считая с начала эпидемии. Так же считал и я.

Источником данных служит мне очень удобно организованный сайт мировой статистики*, а ему – в основном официальные государственные статистики. Это, конечно, плохой источник. К пандемии никто не оказался готов, а многие правительства в силу разных, но чаще неприличных соображений, считают своим долгом ещё и приукрашивать перед выпуском в свет ту статистику, которая к ним приходит из внутренних источников (и тоже несовершенную). Я бы назвал это Редукционизмом Официальных Статистик Серьёзности и Исследованности Коронавирусной Атаки (РОССИКА).

To compare data in different countries, we need some special coordinate system, and it has already been developed for COVID-19. The first day of an epidemic is the day that 10 or more deaths are recorded, counting from the beginning of the epidemic. I also adopted it.

The data source is a very conveniently organized site of world statistics* for me, and for the site – mostly official state statistics. This, of course, is a bad source. Nobody was ready for a pandemic, and many governments, due to various, but more often indecent considerations, consider it their duty to embellish before publication the statistics that come to them from internal sources (and also imperfect). I would call it the Reductionism of Official Statistics of Severity and Investigating of Coronavirus Attack (ROSSICA).

Но выбора у меня не было, и пришлось считать не Истину, а РОССИКу. Для подавления случайных колебаний вверх-вниз, я показатели суточной инфицированности и смертности сглаживал: для каждого дня брал не просто показание этого дня, а складывал его с показаниями двух предыдущих и двух последующих дней и сумму делил на пять. Вскоре после того, как я стал это систематически делать, мой сайт-источник ввёл такую же опцию, но они стали сглаживать не по пяти дням, а даже по семи.

Мне не хотелось «пересгладить» графики, потому что я искал сходство профилей суточных инфекций и суточных смертей, и я продолжал практиковать 5-дневное сглаживание. (По понятным причинам, для предпоследнего дня было доступно только 3-дневное сглаживание, а для последнего – вовсе никакое.)

В Германии первым днём эпидемии по нашему признаку 10-й смерти стало 15 марта. В этой шкале отсчёта времени (t_e) сглаженные графики посуточных выявленных инфекций (C) и смертей (D) показаны слева и справа ниже:

But I had no choice, and I had to take for calculations not Truth, but ROSSICA. To suppress random up-and-down fluctuations, I smoothed the daily infection and mortality rates: for each day I took not just the indication of this day, but added it up with the readings of the previous two and two subsequent days and divided the sum by five. Shortly after I began to do this systematically, my source site introduced the same option, but they began to smooth out not by five days, but even by seven.

I didn’t want to “oversmooth” the charts, because I looked for the similarity of the profiles of daily infections and daily deaths and continued to practice 5-day smoothing. (For obvious reasons, only 3-day smoothing was available for the penultimate day, and none at all for the last day reported).

In Germany, the first day of the epidemic, according to our criterion for the 10th death, was March 15th. In this timeline (t_e), smoothed graphs of daily detected infections (C) and deaths (D) are shown on the left and right below:

Зелёными цифрами на обоих графиках показаны точки совпадения тенденций: минимумы, максимумы, начала или концы (а в точках 8 и 10 – середины) ускорений и торможений и т. п. Разницы времён i-й точки совпадения на правом графике (t_e(D)) и этой же точки на левом графике (t_e(С)) оказались связаны так, как показано на диаграмме справа. Синий график на ней показывает Δ_i = t_e(D)i – t_e(С)i. Красный показывает тренд ‹Δ_i› = (ΣΔ_i):i.

The green numbers on both graphs show the points of coincidence of trends: minima, maxima, beginnings or ends (and at points 8 and 10 – the middles) of accelerations and brakings, etc. Time differences of the i-th coincidence point on the right graph (t_e(D)) and the same point on the left graph (t_e(C)) proved to be connected as shown in the diagram on the left. The blue graph on it shows Δ_i = t_e(D)i – t_e(С)i. Red shows the trend ‹Δ_i› = (ΣΔ_i):i.

Как видим, если округлять разницы до целого числа дней, то после нескольких первых дней эпидемии трендовые значения ‹Δ_i› будут равны 13. (Мы ведь не суеверны, да?) В первые дни они выше, но, ввиду скудости данных, неясно, то ли это случайное явление, то ли закономерность.

As you can see, if we round off the differences to a whole number of days, then after the first few days of the epidemic, the trend values ‹Δ_i› will be 13. (We are not superstitious, are we?) In the first days, they are higher, but due to the scarcity of data, it is unclear whether this is a random phenomenon or a regularity.

Зная ‹Δ_i›, можно рассчитать динамику показателя «статистической летальности» L_t = D_t/С_t–13, по смыслу близкого к летальности (см. справа). При достаточно больших величинах С_t–13 и D_t величина L_t должна, если не физически, то хотя бы статистически, приближаться к доле умерших (в некий день t_e) от числа инфицированных (выявленных 13-ю днями ранее). Как видим, в Германии она примерно с 3-й недели эпидемии вышла на уровень порядка 5% (начавшись с ~8%).

Knowing ‹Δ_i›, we can calculate the dynamics of the indicator "statistical mortality" L_t = D_t/С_t–13, which is close to mortality in meaning (see left). With sufficiently large values of С_t–13 and D_t, the value of L_t should, if not physically, then at least statistically, approach the proportion of deaths (on a certain day t_e) of the number of infected (detected 13 days earlier). As you can see, in Germany, from around the 3rd week of the epidemic, it reached a level of about 5% (starting at ~8%).

О летальности COVID-19 можно встретить довольно разные оценки. В первом своём обзоре я построил график с «дротиками», большинство из которых указывали на цифру около 3%. Правда, вскоре Китай, служащий важным ориентиром на этом графике, пересмотрел свою ранее опубликованную статистику коронавирусной смертности, увеличив её почти на треть, и это должно было бы поднять тренд летальности к ~4%.

Однако на том же графике была, например, и Австралия с трендом летальности к ~1%, если не ниже, и она была не одинока. Те страны, где эпидемия в пике не превзошла ресурсов национальной системы здравоохранения, показывают нам, что под хорошим медицинским контролем летальность COVID-19, видимо, и должна быть порядка ~1%. А в будущем она должна снижаться при мутациях вируса и в недалёкой перспективе составит доли процента. Это не мои домыслы, таково мнение профессионалов.

Мутации, конечно, изредка могут и усиливать смертоносность вируса. Но, к счастью, богиня Энтропа, которой они подчинены, ещё более слепа, чем Фемида, и удары её резца гораздо чаще портят геном, чем улучшают его. Так что в целом мутации ослабляют летальность, и естественный отбор им в этом помогает, потому что слишком смертоносный патоген вскоре истребляет всю популяцию потенциальных хозяев и вымирает.

Таким образом, превышения статистической летальности L_t над уровнем ~1% гипотетически могут сигнализировать о:

● перегруженности национальной системы здравоохранения, реально приводящей к потерям большого числа пограничных больных, которых при лучшем медицинском уходе можно было бы спасти;

● и/или низком уровне скринига, в результате чего сильно занижаются данные о доле инфицированных в популяции и автоматически во столько же раз фиктивно возрастает L_t.

Посмотрим ещё раз на динамику L_t в Германии. Вначале высокие значения явно вызваны низким уровнем скрининга, тем более, что большой статистический шум (зигзаги графика вверх-вниз) это недвусмысленно подтверждает. Там, где статистика самая надёжная (и D_t и С_t–13 близки к своим максимумам), L_t самая низкая, порядка ~3% (я не вникал в хронику германской эпидемии и не берусь судить, почему эта величина всё же осталась примерно втрое выше биологически обоснованной: видимо, и неполный скрининг сработал, и известная перегрузка медицинской системы при максимальном потоке новых больных могла реально уносить дополнительные жизни).

Менее понятны причины роста L_t после 28-го дня эпидемии (11 апреля). Число активных больных там как раз за четыре дня до этого уверенно пошло на спад. Врачи наработали опыт лечения (хотя и истощили свои ресурсы очень сильно, многие заболели сами, больницы закрывались на карантин, и т. п.). Может быть, на фоне достигнутого перелома в войне, стали меньше делать скрининг? Может быть, на конец эпидемии пришлись смерти тех пограничных пациентов, за которых долго боролись, но, увы, не спасли? Видимо, здесь объяснение дам не я, а будущие историки Великой Пандемии.

В целом же, как видим, показатель L_t достаточно информативен и в сочетании с общей картиной развития эпидемии в данной стране способен многое и объяснить и, хотя бы по прошествии первых двух-трёх недель эпидемии, даже полуколичественно спрогнозировать.

Я рассчитал L_t для верхней десятки государств по числу выявленных коронавирусных инфекций (по состоянию на 15 мая), и обнаружил любопытную картину (см. график ниже). Европейские члены десятки и США начинали с очень сильной недооценки числа инфицированных, на порядок и более. В первые две недели эпидемии показатель L_t у них исчислялся многими десятками процентов и нередко превышал 100% (!). С каждой неделей скриниг в этих странах улучшался, что снижало L_t, и примерно через 1,5÷2 месяца от начала эпидемии их L_t приблизился к германским показателям. Динамика L_t для этой группы стран (в логарифмической шкале) качественно сходна, среднелогарифимческий тренд их L_t показан на графике розовым пунктиром:

On the lethality of COVID-19, you can find quite different estimates. In my first review, I built a chart with “darts”, most of which indicated a figure of about 3%. However, soon China, which serves as an important guideline on this chart, revised its previously published coronavirus mortality statistics, increasing it by almost a third, and this should have increased the mortality trend to ~4%.

However, on the same chart, for example, was Australia with a trend in mortality to ~1%, if not lower, and it was not alone. Those countries where the epidemic at its peak did not exceed the resources of the national health care system show us that, under good medical supervision, the mortality rate of COVID-19, apparently, should be on the order of ~1%. And in the future, it should decrease with virus mutations and in the near future will amount to a fraction of a percent. This is not my speculation, this is the opinion of professionals.

Mutations, of course, occasionally can increase the lethality of the virus. But, fortunately, the goddess Entropa, to whom they are subordinate, is even more blind than Themis, and the blows of her chisel deface the genome much more often than improve it. So, in general, mutations weaken mortality, and natural selection helps them in this, because an overly deadly pathogen will soon exterminate the entire population of potential hosts and die out.

Thus, the excess of statistical mortality L_t over the level of ~1% hypothetically can signal about:

● congestion of the national health care system, which actually leads to the loss of a large number of patients in border states who could be saved with better medical care;

● and/or a low level of screening, as a result of which the data on the percentage of infected people in the population is greatly underestimated, and L_t automatically fictitiously increases by the same amount.

Let's look again at the dynamics of L_t in Germany. Initially, high values are clearly caused by a low level of screening, especially since the large statistical noise (zigzags of the graph up and down) confirms this clearly. Where the statistics are the most reliable (both D_t and С_t–13 are close to their maximums), L_t is the lowest, of the order of ~3% (I didn’t delve into the chronicle of the German epidemic and do not dare to judge why this value nevertheless remained about three times higher than biologically justified: apparently, incomplete screening worked, and the well-known overload of the medical system with a maximum flow of new patients could really take extra lives as well).

The reasons for the growth of L_t after the 28th day of the epidemic (April 11) are less understood. The number of active patients there just four days before that confidently declined. Doctors gained experience of treatment (though they also depleted their resources very much, many fell ill themselves, hospitals were closed for quarantine, etc.). Maybe, against the backdrop of the turnaround in the war, they began to do less screening? Maybe at the end of the epidemic came the deaths of those borderline patients for whom they fought for a long time, but, alas, they did not save? Apparently, the explanation will be given not by me, but by future historians of the Great Pandemic.

On the whole, as you can see, the L_t indicator is quite informative and, in combination with the general picture of the development of the epidemic in a selected country, is able to explain a lot and even predict semi-quantitatively, at least after the first two or three weeks of the epidemic.

I calculated L_t for the top ten states according to the number of coronavirus infections detected (as of May 15), and I found a curious picture (see graph below). European members of the top and the United States began with a very strong underestimation of the number of infected people, an order of magnitude or more. In the first two weeks of the epidemic, their L_t was estimated at many tens of percent and often exceeded 100% (!). With each week, the screening in these countries improved, which reduced L_t, and after about 1.5–2 months from the onset of the epidemic, their L_t approached German indicators. The dynamics of L_t for this group of countries (in the logarithmic scale) is qualitatively similar, the average logarithmic trend of their L_t is shown in the graph with a pink dotted line:

У остальных членов топовой десятки картина оказалась иной (розовый пунктир на их графике – это средняя линия с предыдущего графика, для сравнения):

For the other members of the top ten, the picture was different (the pink dotted line on their chart is the middle line from the previous chart, for comparison):

Россия, Германия и отчасти Бразилия демонстрируют стабильность L_t, но на существенно разных уровнях. У Турции и Ирана L_t быстро снижается в первые 1,5 месяца эпидемии. Графики Бразилии и Ирана в этой группе ближе всего к розовому пунктиру, и если их объединить в одну группу с предыдущими пятью странами, среднелогарифмическое значение L_t по семи странам (тёмно-коричневый пунктир) не так уж сильно отличается от среднего по пяти странам (розовый пунктир). Но эта близость возникла оттого, что графики Бразилии и Ирана отклоняются от розового пунктира в разные стороны и тем самым компенсируют друг друга; сами же по себе их отличия от розового пунктира не так малы.

Ближе всех к физиологическому ориентиру летальности оказались Россия и (со второго месяца эпидемии) Турция. Про развитие эпидемии в Турции я почти ничего не знаю и потому воздержусь от комментариев, а о России у меня есть что сказать.

В разных государствах приняты разные методики учёта смертности от COVID-19. Где-то (как в Бельгии, например) учитывают как жертв коронавируса даже тех, кому тест не делался, а просто картина болезни и смерти клинически соответствовала известному течению COVID-19. Где-то учитывают всех умерших, у кого был положительный тест на коронавирус, не вдаваясь в то, что именно послужило непосредственной причиной смерти (например, в Швеции*). И в России в первые дни эпидемии кое-где в регионах применяли похожую методику. Однако вскоре последовало указание от министерства здравоохранения считать более жёстко: только тех, у кого COVID-19 выступил прямой причиной смерти.

Russia, Germany, and partly Brazil demonstrate stability of L_t, but at significantly different levels. In Turkey and Iran, L_t decreases rapidly in the first 1.5 months of the epidemic. The graphs of Brazil and Iran in this group are closest to the pink dotted line, and when combined into the same group as the previous five countries, the average log value of L_t for seven countries (dark brown dotted line) is not very different from the average for five countries (pink colored dotted line). But this proximity arose because the schedules of Brazil and Iran deviate from the pink dotted line in different directions and thereby cancel each other out; by themselves, their differences from the pink dotted line are not so small.

Closest to the physiological landmark of mortality were Russia and (from the second month of the epidemic) Turkey. I know almost nothing about the development of the epidemic in Turkey, and therefore I will refrain from commenting, but I have something to say about Russia.

Different countries have adopted different methods of accounting for mortality from COVID-19. Somewhere (as in Belgium, for example), even those to whom the test was not done are considered as victims of the coronavirus, if just the picture of the disease and death clinically corresponded to the well-known course of COVID-19. Somewhere, all those who have had a positive coronavirus test are counted, without going into what exactly was the direct cause of death (for example, in Sweden*). And in Russia in the early days of the epidemic, in some places in the regions, a similar counting was used. However, soon there was an instruction from the Ministry of Health to count more strictly: only those who had COVID-19 as the direct cause of death.

Поскольку особенностью данного вируса является то, что он не столько убивает организм сам, сколько снижает иммунитет и открывает дорогу другим болезням, то разница между первой и второй методиками учёта оказывается примерно в полпорядка величины, то есть в 3÷3,5 раза. Я же разделяю мнение, что наиболее полным учётом будет тот, при котором к смертям, прямо или косвенно вызванным попаданием коронавируса в организмы, добавятся все смерти от разнообразных других причин, явившихся прямым следствием эпидемического фона. Это смерти и от болезней, спровоцированных стрессом, и от нехватки медицинских ресурсов, и от бытового насилия, уровень которого при самоизоляции неизбежно должен расти в неблагополучных и в какой-то части из ранее казавшихся благополучными семей, и т. д.

Оценить такую прямую + спровоцированную + косвенную смертность можно только по данным общей смертности, сравнивая их со средними показателями за сопоставимые периоды. Например, в мае широко обсуждались московские данные за апрель, показавшие рост смертности на 1980 человек над средним уровнем апреля за 10 последних лет. При этом официально учтённая смертность от COVID-19 в апреле в Москве составила 639 человек, что в 3,1 раза меньше.* О состоянии российской системы здравоохранения в эти дни можно узнать из подкастов Сони Гройсман**: это резко поможет с выбором, каким цифрам доверять больше.

Since the peculiarity of this virus is that it not so kills the body itself, but reduces immunity and opens the way for other diseases, the difference between the first and second methods of accounting turns out to be about half the order of magnitude, i.e. 3÷3.5 times. I share the opinion that the most complete account will be that in which deaths, directly or indirectly caused by the entry of coronavirus into organisms, will be supplemented by all deaths from various other causes that were a direct consequence of the epidemic background. These are deaths from illnesses provoked by stress, and from a lack of medical resources, and from domestic violence, the level of which with self-isolation must inevitably grow in dysfunctional and in some part of previously seemed prosperous families, etc.

To assess such a direct + provoked + indirect mortality is possible only via total mortality, comparing it with average indicators for comparable periods. For example, in May, Moscow data for April were widely discussed, which showed an increase in mortality by 1980 people over the average level in April over the past 10 years. At the same time, the officially registered mortality from COVID-19 in April in Moscow amounted to 639 people, which is 3.1 times less*. The state of the Russian healthcare system during those days can be found in Sonya Groysman's podcasts**: this will greatly help with the choice of which numbers to trust more.

Итак, у дроби, по которой считается L_t, в России был выбран минимально возможный числитель. Но это, в конце концов, вопрос терминологии. Не важно, какую методику применяли в том или ином государстве: уже накоплена статистика, оценены коэффициенты пересчёта от одной методики к другой, и можно из любых цифр извлечь нужную информацию.

А вот знаменатель дроби L_t характеризует не формальность (метод учёта смертей), а реальный фактор, влияющий на развитие эпидемии, – уровень тестирования (скрининг). И я склонен верить, что в России скриниг был действительно одним из лучших в мире. Все сомнения отпали, когда я прочёл в «Собеседнике» № 13-14 расследование о фирме «Эвотэк-Мирай Геномикс», тесно связанной с ближним кругом Путина.

У этой фирмы мэрия Москвы заказала (причём по ценам в 2–3 раза дороже, чем предлагали другие поставщики) 100 тыс. тестов ещё 14 марта – за неделю до того, как эти тесты получили официальную регистрацию. Заказы от других властных структур и провластных корпораций посыпались на «Эвотэк-Мирай Геномикс» один за другим, и сейчас их счёт идёт, вероятно, на миллиарды рублей (цена теста – 1500 рублей). На 15 мая в России сделано 6,6 млн. тестов. Учитывая, что на каждого выявленного вирусоносителя положено сделать три теста, речь идёт о скрининге примерно 2,5 млн. человек (1,5÷2% населения).

Итак, малый числитель и большой знаменатель дроби L_t объясняют, как Россия, после многих лет сокращений сети учреждений здравоохранения и при всей безалаберности национального характера, смогла достичь рекордно низких показателей статистической летальности. Редкий случай, когда коррупция сработала на спасение чьих-то жизней. Превед, ковед! Кому война, кому мать родна...

So, in the fraction, according to which L_t is considered, in Russia the minimum possible numerator was chosen. But this, after all, is a matter of terminology. It doesn’t matter what methodology was used in a particular state: statistics have already been accumulated, conversion factors from one methodology to another have been estimated, and any information can be extracted from any figures.

But the denominator of the fraction L_t characterizes not formality (method of accounting for deaths), but the real factor influencing the development of the epidemic – the level of testing (screening). And I am inclined to believe that in Russia screening was really one of the best in the world. All doubts disappeared when I read in “Sobesednik [Interlocutor]” No. 13-14 an investigation about the Evotech-Mirai Genomix firm, closely connected with Putin’s inner circle.

The mayor's office of Moscow ordered 100 thousand tests from this company (moreover, at prices 2-3 times more expensive than other suppliers) on March 14, a week before these tests received official registration. Orders from other government agencies and pro-government corporations rained down on the Evotech-Mirai Genomix one after another, and now their bills reach probably billions of rubles (test price – 1,500 rubles). As of May 15, 6.6 million tests have been done in Russia. Given that it is necessary to do three tests for each identified virus carrier, we are talking about screening about 2.5 million people (1.5–2% of the population).

So, the small numerator and the large denominator of the fraction L_t explain how Russia, after many years of reductions in the network of healthcare institutions and with all the carelessness of a national character, was able to achieve record low rates of statistical mortality. A rare case where corruption has worked to save someone else’s life. Preved, coved! For some, war, for some, mother dear... [Russian proverb]

Но оставим в покое Россию и вернёмся к рассуждениям более общего характера. Очевидно, что в первые недели эпидемии ни одна страна не смогла видеть всего айсберга инфицированных. Между тем для хорошего матанализа крайне желательно знать динамику роста инфицированности с самого начала. Поэтому я пару недель увлечённо строил математические модели.

Вначале я пытался повенчать наиболее принятую в эпидемиологии SIR-модель с моей юношеской любовью, химической кинетикой и диффузией. Я перевёл 3D-уравнения в 2D-аналоги, я топологически преобразовал реальную страну с разнообразными человеческими связями и типами поселений в идеальное круглое государство Ришат (имя нашлось случайно в ходе поисков хорошей старинной карты Атлантиды или Утопии: таковы были первоначальные аналогии), я придумал, как по доступным статистическим данным вычислить довольно точно разные константы перемешивания, убывания плотности и проч., – но ничего хорошего так и не получилось.

И лишь третья попытка, самая примитивная с идейной точки зрения, дала, кажется, рабочий результат. Он изложен в заключительном разделе ниже.

But let's leave Russia alone and return to more general considerations. Obviously, in the first weeks of the epidemic, not a single country was able to see the entire iceberg infected. Meanwhile, for a good math analysis, it is very desirable to know the dynamics of infection growth from the very beginning. Therefore, I enthusiastically built mathematical models for a couple of weeks.

Initially, I tried to marry the SIR model most accepted in epidemiology with my youthful love, chemical kinetics, and diffusion. I converted 3D equations into 2D analogs, I topologically transformed a real country with a variety of human connections and settlement types into an ideal round state of Richat (the name was found by chance in the search for a good old map of Atlantis or Utopia: these were the original analogies), I came up with, how to calculate fairly accurately different constants of mixing, decreasing density, etc., using available statistics, – but nothing good happened.

And only the third attempt, the most primitive from an ideological point of view, gave, it seems, a working result. It is set out in the final section below.

k-Модель эпидемии

k-Model of epidemic

Как происходят заражения? На индивидуальном уровне всё варьируется очень сильно. Пациент-источник может болеть слабо или сильно (зависит от его организма и полученной им дозы инфекции). Он может находиться в разных стадиях болезни (инкубационном периоде, разгаре болезни, стадии выздоровления) и, соответственно, быть на порядки более или менее заразным. Многие, если не большинство, вообще не болеют сами, но при этом заражают окружающих.

Передатчик вируса может, заболев, изолироваться или продолжать вести обычный образ жизни (особенно если он бессимптомник). И контактирует он с людьми по-разному. И люди эти обладают разной степенью восприимчивости к вирусу.

Всё больше появляется указаний на то, что распространение эпидемии COVID-19 происходит по так называемым кластерным цепочкам, когда примерно 80% инфицированных практически никого не заражают, зато остальные 20%, ведущие особо активный образ жизни, заражают множество людей.

Тем не менее, мы во всех странах видим, что начальные стадии эпидемии, когда серьёзных карантинных мер ещё не принимали, очень неплохо описываются экспонентой или, что то же, геометрической прогрессией с коэффициентом около 15% роста в сутки. Даже при том, что медицинская статистика в эти первые периоды видит лишь вершину айсберга. Так проявляется закон больших чисел: чем больше индивидуальных событий вливается в общую картину, тем точнее становится описание этой картины с помощью усреднённых величин: средней заразности, средней длительности болезни, среднего числа заражаемых от одного инфицированного, и т. д.

Для моделирования важно знать, когда же можно с достаточной точностью переходить от учёта и подсчёта индивидуальных случаев к описанию эпидемии крупномасштабными переменными, такими как число случаев, летальность и проч. Не найдя нигде ответа на этот вопрос, я решил найти его методом Монте-Карло. Те, кто не особо увлечён математикой, спокойно могут пропустить следующие далее длинные технические подробности и сразу перейти к результату этого численного эксперимента.

В каждую страну (кроме Китая) вирус проник из-за рубежа. Соответственно, был день, когда в страну попал первый инфицированный. Примем, что страну с внешним миром связывает более или менее постоянный поток людей (например, для России это было до пандемии около 190 тыс. человек в сутки, из них примерно треть – иностранцы*). Примем также, что во внешнем мире эпидемия уже развивается по экспоненте, с суточным коэффициентом роста инфицированных (характерным для COVID-19) ~1,15. Это означает, что если в первый день въехал 1 заражённый, то во второй въедет «1,15», в третий – «1,15² = 1,32», в четвёртый – «1,15³ = 1,52» инфицированных, и т. д.

How do infections occur? On an individual level, everything varies greatly. The source patient may be ill slightly or severely (depending on his body and the dose of infection he received). It can be in different stages of the disease (incubation period, the height of the disease, stage of recovery) and, accordingly, be orders of magnitude more or less infectious. Many, if not most, do not get sick at all, but at the same time they infect others.

A virus transmitter may become isolated after become ill, or continue to lead a normal lifestyle (especially if it is asymptomatic case). And each one contacts people in different ways. And these people have varying degrees of susceptibility to the virus.

There is more and more evidence that the spread of the COVID-19 epidemic occurs through so-called cluster chains, when approximately 80% of infected people practically do not infect anyone, but the remaining 20%, leading a particularly active lifestyle, infect many people.

Nevertheless, we see in all countries that the initial stages of the epidemic, when serious quarantine measures have not yet been taken, are very well described by the exponent or, equivalently, by geometric progression with a coefficient of about 15% growth per day. Even though medical statistics in these early periods only sees the tip of the iceberg. This is how the law of large numbers manifests itself: the more individual events flow into the overall picture, the more accurate the description of this picture becomes with the help of averaged values: average infectivity, average duration of the disease, average number of people infected from one infected person, etc.

For modeling, it is important to know when it is possible to move with sufficient accuracy from accounting and counting individual cases to describing the epidemic with large-scale variables, such as the number of cases, mortality, etc. Having not found an answer to this question anywhere, I decided to find it using the Monte Carlo method. Those who are not particularly keen on mathematics can safely skip the following long technical details and go straight to the result of this numerical experiment.

In every country (except China), the virus has penetrated from abroad. Accordingly, there was a day when the first infected person got into the country. Let us assume that a country is connected with the outside world by a more or less constant flow of people (for example, for Russia it was about 190 thousand people a day before the pandemic, of which about a third are foreigners *). We also assume that in the outside world the epidemic is already developing exponentially, with a daily growth rate of infected (characteristic of COVID-19) ~1.15. This means that if 1 infected person entered on the first day, then “1.15” will enter on the second, “1.15² = 1.32” on the third, “1.15³ = 1.52" on the fourth, etc.

Конечно, дробного числа человек не бывает, и мы обработаем дробные числа так, чтобы округлять их до целых и одновременно имитировать случайные колебания.     Я     для     этого     пользовался     функцией int(x+rand()), где в качестве x выступали дроби 1,15^t – 1, и получил ряд сперва ноликов и единиц, затем переходящий в двойки, тройки, и т. д. Это был модельный приток инфицированных.

Каждый из них мог находиться на разных стадиях болезни и, соответственно, быть по-разному заразным. Заразность оценивают по содержанию активных вирусов в биологических выделениях больного. Главным механизмом заражения является респираторный, то есть либо вдох инфицированного респираторного аэрозоля, либо контакт с тем же аэрозолем, но успевшим осесть на поверхность чего-либо. Поэтому, хотя вирус SARS-CoV-2 обнаруживали почти всюду в организме (в крови, в материнском молоке, в кале, в моче, в сперме и т. д.), что указывает на широкий спектр его поражающего воздействия (вероятно, ещё далеко не осознанный во всей полноте и перспективе), мы можем ограничиться содержанием вируса в респираторных аэрозолях, являющихся выделениями из полости рта и дыхательного тракта.

Многие слышали, что вирус в пробах изо рта или гортани обнаруживают методом ПЦР. Суть этого метода в том, что РНК вируса химическим способом удваивается сколько-то раз подряд, пока не наберётся достаточно много для аналитического определения. Чем меньше единиц РНК было в пробе, тем больше циклов удвоения понадобится. Есть данные, что инфекционными были пробы с 34 циклами ПЦР; возможно, что это ещё не предел*. Все пробы с меньшими числами циклов (C_t) автоматически должны быть заразными. Насколько именно, можно в уме определять по соотношению 2¹⁰ = 1024 ≈ 1000: минус 10 единиц C_t соответствуют примерно 1000-кратно более заразной пробе.

Of course, there is no fractional number of people, and we will process fractional numbers so as to round them to integers and simultaneously simulate random fluctuations. To do this, I used the function int(x+rand()), where the fraction 1.15^t – 1 acted as x, and I received a series of first zeros and ones, then turning into deuces, triples, etc. This was a model influx infected persons.

Each of them could be at different stages of the disease and, accordingly, be infectious to varying degrees. Infectiousness is estimated by the content of active viruses in the biological secretions of the patient. The main mechanism of infection is the respiratory one, that is, either the inhalation of an infected respiratory aerosol, or contact with the same aerosol, but having yet settled on the surface of something. Therefore, although the SARS-CoV-2 virus was detected almost everywhere in the body (in blood, in breast milk, in feces, in urine, in sperm, etc.), which indicates a wide range of its damaging effects (probably still far not realized in its entirety and perspective), we can limit ourselves to the content of the virus in respiratory aerosols, which are secretions from the oral cavity and respiratory tract.

Many have heard that the virus in samples from the mouth or larynx is detected by PCR. The essence of this method is that the RNA of the virus chemically doubles several times in a row, until it accumulates enough for analytical determination. The fewer RNA units in the sample, the more duplication cycles will be required. There is evidence that samples with 34 cycles of PCR were infectious; perhaps this is not the limit*. All samples with fewer cycles (C_t) should automatically be infectious. How much exactly can be determined in the mind by the ratio 2¹⁰ = 1024 ≈ 1000: minus 10 units of C_t correspond to about 1000 times more infectious test.

В той же статье приводятся данные, что у пациентов до развития симптомов COVID-19 были найдены C_t = 15÷38, в среднем C_t = 24, то есть почти все они лежат в инфекционной области. У бессимптомных лиц (в отличие от досимптомных это те, у кого при наличии в организме вируса внешних признаков болезни не проявляется) найдены C_t = 14÷40: область сдвинута в сторону примерно вдвое меньшей заразности, но в большинстве случаев пробы всё же относятся к зоне инфекции.

Поскольку симптомники и бессимптомники (часто не подозревающие о своей инфицированности) очень по-разному распространяют болезнь в обществе, эти две группы вирусоносителей разумно было рассматривать по отдельности. Об их соотношении публикуются очень противоречивые данные. Так, на сайте Центра по контролю заболеваний США в сценариях пандемии COVID-19 рассмотрены варианты с долей бессимптомников в числе инфицированых от 20% до 50%*, а глава аналогичного литовского центра считает, что эта доля достигает 80%**. Я принял компромиссное и простое соотношение 1:1, чтобы общее число импортёров инфекции делить на (до)симптомников и бессимптомников поровну, а когда это число было нечётным, один из них добавлялся к той или другой группе случайным образом с равными шансами.

The same article cites data that tests taken from patients before the development of symptoms of COVID-19 showed C_t = 15÷38, on average C_t = 24, that is, almost all of them are in the infectious region. In asymptomatic individuals (those who, during all period of having virus in the body show no external signs of the disease, in contrast to pre-symptomatic individuals) C_t = 14÷40 are found: the area is shifted to about half the infectiousness, but in most cases the samples still belong to the zone of infection.

Since symptomatic and asymptomatic individuals (the latter ones often unaware of their infection) spread the disease very differently in society, it was reasonable to consider these two groups of virus carriers separately. Very contradictory data are published on their ratio. So, on the website of the US Center for Disease Control, in scenarios of the COVID-19 pandemic, options with the proportion of asymptomatic in the number of all infected from 20% to 50%* were considered, and the head of a similar Lithuanian center believes that this percentage reaches 80%**. I accepted a compromise and simple 1:1 ratio so that the total number of importers of the infection is divided into (pre)symptomatic and asymptomatic ones equally, and when this number was odd, one of them was added to one or another group randomly with equal chances.

За неимением точных данных, я постулировал, что в среднем профиль заразности в обеих группах выглядит одинаково, но у бессимптомников величины заразности меньше в какое-то (пока неизвестное нам) число раз. Судя по встречавшимся мне отрывочным данным об изменениях C_t в ходе болезни, содержание вирионов в частицах респираторного аэрозоля от одного и того же лица может меняться на несколько порядков за несколько дней, но нам главное выделить периоды, когда это число превышает некий (опять же усреднённый по большому числу контактов) критический уровень заразности. (Десять или сто пуль, выпущенных в голову, не убьют более одного раза.)

Отталкиваясь от того, что уже на второй день инкубационного периода некоторые пациенты заражали других, я постулировал, что искомый профиль заразности для (до)симптомных пациентов на сроке 1,5 дня после заражения достигает ~50% порогового (максимального) значения, а к концу типичного 5-дневного инкубационного периода приближается к ~90%. Обычно заболевание у тех, кто потом выздоровел, занимает 16 дней, а у тех, кто в конце умирает, – 14 дней. Срок инфекционности у бессимптомников неизвестен, но, вероятно, близок к этим величинам. Я постулировал, что плато максимальной инфекционности длится около недели, затем заразность примерно экспоненциально падает и к исходу цикла (на 21-й день, считая от момента заражения) не превышает ~2% от своего максимума.

Эти гипотезы (конечно, во многом умозрительные) позволили вручную сконструировать профиль заразности*, показанный на левом рис. внизу. Но в таком, природном (биологическом) виде он применим только к бессимптомным пациентам, которые весь период вирусоносительства ведут обычную жизнь с обычным числом контактов с членами общества. А у симптомных пациентов я постулировал другой сценарий. В инкубационный период (это в среднем чуть более 5 дней от момента заражения) и в первые 1,5 дня развития симптомов я считаю, что типично пациент ведёт более или менее стандартный образ жизни. Затем я даю ещё полсуток на переход к резкому ограничению контактности: болезнь как правило быстро прогрессирует, человек осознаёт, что с ним случилось, и либо дома либо в больнице оказывается в условиях, когда мало кого может заразить. Этот сценарий приводит к профилю, показанному на правом рис. ниже.

For lack of accurate data, I postulated that, on average, the infectiousness profile in both groups looks the same, but in asymptomatic ones infectiousness values are several times less (unknown to us how much). Judging by the fragmentary data that I met about the changes in C_t during the course of the disease, the content of virions in the particles of a respiratory aerosol from the same person can change by several orders of magnitude in a few days, but the main thing for us is to identify periods when this number exceeds a certain (again averaged over a large number of contacts) critical level of infectivity. (Ten or one hundred bullets fired into the head will not kill more than once.)

Based on the fact that already on the second day of the incubation period, some patients infected other people, I postulated that the desired infectivity profile for (pre)symptomatic patients at 1.5 days after infection reaches ~50% of the threshold (maximum) value, and by the end of typical 5-day incubation period approaches ~90%. Usually, the disease in those who later recovered takes 16 days, and for those who die in the end, 14 days. The term of infectiousness in asymptomatic is unknown, but probably close to these values. I postulated that the plateau of maximum infectivity lasts about a week, then the infectivity decreases approximately exponentially and by the end of the cycle (on the 21st day, counting from the moment of infection) does not exceed ~2% of its maximum.

These hypotheses (of course, largely speculative) made it possible to manually construct the infectiousness profile* shown in the left fig. below. But in this natural (biological) form, it is applicable only to asymptomatic patients who lead an ordinary life with the usual number of contacts with members of society throughout the entire period of being the virus carriers. And in symptomatic patients, I postulated a different scenario. In the incubation period (on average a little more than 5 days from the moment of infection) and in the first 1.5 days of the development of symptoms, I believe that typically the patient leads a more or less standard lifestyle. Then I give another half day to the transition to a sharp limitation of contacts: the disease usually progresses rapidly, the person realizes what happened to him, and either at home or in the hospital finds himself in conditions where can infect few people. This scenario leads to the profile shown in the right pic. below.

Заразность выражена на этих графиках величиной I₂₄, показывающей, скольких человек может заразить данный носитель за 24 часа (12 часов до текущего момента t_i и 12 часов после него; правда, в формуле и на графиках время от момента заражения, которое мы будем называть инфекционным стажем t_i, выражено не в часах, а в сутках). Зелёный цвет означает отсутствие симптомов у носителя, интенсивность красного передаёт степень выраженности симптомов. Индексом «–» отмечены величины, относящиеся к бессимптомникам. Для симптомников в досимптомной стадии (во время инкубационного периода) применяется индекс «–+», а в стадии выраженных симптомов – индекс «+».

The infectivity is expressed on these graphs by the value of I₂₄, showing how many people can be infected from this carrier in 24 hours (12 hours before the current time t_i and 12 hours after it; however, in the formula and graphs the time from the moment of infection, which we will call the length of infection t_i, expressed not in hours but in days). Green indicates the absence of symptoms in the carrier, the intensity of red reflects the severity of symptoms. The index “–” marks the values related to asymptomatic carriers. For symptomatic ones in the pre-symptomatic stage (during the incubation period), the “– +” index is used, and in the stage of visible symptoms, the “+” index is used.

Чтобы определить множители, стоящие перед экспонентой в формуле, я воспользовался уханьскими данными о вкладах разных носителей в заражение общества* (см. диаграмму справа) и данными о динамике развития эпидемии. И те и другие данные не очень надёжны, но лучших мне найти не удалось. 46% заражений в небольшой китайской выборке произошло от досимптомников (это зелёная область правого графика сверху). 38% – от симптомников (переходные и красные области того же графика).

To determine the factors facing the exponent in the formula, I used Wuhan data on the contributions of various carriers to the infection of society* (see the diagram on the left) and data on the dynamics of the epidemic. Both of these data are not very reliable, but I could not find the best. 46% of infections in a small Chinese sample came from pre-symptomatic ones (this is the green area of the right graph above). 38% – from symptomatic ones (transitional and red areas of the same schedule).

10% заражений произошли от бессимптомников (это целиком левый верхний график). И 6% произошли от контактных заражений. Кто именно, симптомники или бессимптомники, оставили свои респираторные частицы на поверхностях, осталось неизвестным. Но я, исходя из того, что бессимптомники типично втрое дольше пребывают в обществе, подразделил эту долю не поровну: 4% отдал бессимптомникам, и лишь 2% – симптомникам (но прибавил эти 2% к досимптомным 46% случаев, когда эта группа носителей ещё сохраняла типичный образ жизни).

Предположим, мы наблюдаем «квант эпидемии»: одного симптомника и одного бессимптомника в течение всего цикла вирусоносительства. Вирусоноситель в среднем заражает какое-то число людей, это число называют индексом репродукции R₀. При моделировании COVID-19 чаще всего используют R₀ = 2, хотя Википедия приводит из разных источников данные в интервале R₀ = 1,4÷5,7, а при затухании эпидемии по определению R₀ < 1. Но мы сейчас заняты началом эпидемии и примем, как большинство, R₀ = 2, тогда наш «квант эпидемии» инфицирует 2•R₀ = 4 человек. Из них, как мы приняли по уханьской диаграмме, (10% + 4%)•4 = 0,56 человека заразятся от бессимптомника; (46% + 2%)•4 = 1,92 человека заразятся от досимптомника; и 38%•4 = 1,52 человека заразятся от него же, но уже в стадии симптомника.

_______

* Строго говоря, даже при равном «производстве» симптомников и бессимптомников их соотношение в описании передачи инфекции не должно быть равным. Бессимптомники 100%-но проживают весь период вирусоносительства, а часть симптомников умирает, причём в начале эпидемии это ощутимая часть, до четверти всех больных. Однако смерти приходятся на завершающие дни 21-дневного цикла (мы ведь говорим здесь об усреднённых, типичных величинах и сценариях), а в эти дни, по нашей кривой заразности, вклад носителя в инфицирование уже очень мал, порядка долей процента. При той ориентировочности, с которой мы делаем наш расчёт, учитывать такие нюансы нет смысла. Это задача будущих медицинских статистиков COVID-19.

По-другому число инфицированных можно найти по кривым I₂₄, интегрируя их на соответствующих интервалах времени (интегралы равны площадям под кривой). Так, полный интеграл от левой кривой должен дать 0,56 человека (отсюда получаем коэффициент 0,0409), а интеграл от правой кривой в интервале от 0 до 5 дней должен дать 1,92 человека (расчёт показывает, что для этого всё начало правого графика должно численно быть в 16,0 раз больше, чем на левом графике: во столько раз досимптомники оказываются заразнее бессимптомников). По данным о C_t мы, напомню, ожидали разницы в заразности гораздо меньше, порядка двух раз. Ничего не поделать, таковы на момент, когда я это вычисляю, пределы неопределённости в данных о COVID-19! И, поскольку и данные о C_t и уханьская диаграмма основаны на ранних и скудных наблюдениях, я не могу даже решить, какие из них надёжнее.

Но для расчёта я беру данные со своих графиков, поскольку в областях плато, которые там (по крайней мере, на левом графике) имеются, рост C_t может продолжаться на порядки (это будут десятки, сотни, тысячи лишних пуль, но они не сделают уже поражённую цель более поражённой), и соотношение C_t левого и правого графиков может оказаться каким угодно. С фактором практической заразности, которая для нас здесь важна, C_t связан не напрямую.

Интеграл правой кривой от 5 дней до конца должен дать 1,52 человека. Его можно разбить на сумму трёх интегралов:

– от 5 до 6,5 дней, где функция I₂₄₍₊₎ повторяет функцию I_24(–), но увеличенную в 16 раз, как и в досимптомном периоде;

– от 6,5 до 7 дней, где я постулирую линейное падение I₂₄₍₊₎ во сколько-то раз (мы пока не знаем, во сколько);

– и, наконец, от 7 дней до конца, где I₂₄₍₊₎ повторяет I_24(–), но уже с новым неизвестным коэффициентом, сложившимся в конце линейного падения.

В сумме трёх интегралов этот коэффициент оказывается единственной неизвестной величиной, а поскольку сумма должна равняться 1,52 человека, мы можем рассчитать его. Он равен 1,13, то есть после 7-го дня от заражения или, что то же, со второго дня болезни, человек, благодаря изоляции, становится уже не в 16 раз, а только на 13% более заразен, чем бессимптомник с тем же инфекционным стажем t_i = 7+ дней. Биология подавляется в 16/1,13 = 14,1 раза!

Это, видимо, самый ненадёжный коэффициент в нашей модели, потому что, помимо скудости и отрывочности статистики, из которой он вычислен, в нём очень сильно может сказываться локальная специфика. В Ухане степень изоляции заболевших была, по сообщениям СМИ, довольно высока. Будет ли это так в других странах, неизвестно. Но, повторяю, приходится работать с тем, что есть. Я так подробно излагаю весь ход рассуждений именно для того, чтобы кто-то в будущем мог легче внести нужные коррективы, опираясь на лучшую статистику.

10% of infections occurred from asymptomatic ones (this is the entire upper left graph). And 6% came from contact infections. Who exactly, symptomatic or asymptomatic ones, left their respiratory particles on the surfaces, remains unknown. But based on the fact that asymptomatic people typically spend three times longer in society, I divided this share not equally: 4% were given to asymptomatic people, and only 2% to symptomatic people (but I added these 2% to 46% presymptomatic cases, when this group of carriers still retained typical lifestyle).

Suppose we observe a “quantum of the epidemic”: one symptomatic and one asymptomatic individuals throughout the virus cycle. The virus carrier infects on average a certain number of people, this number is called the reproduction number R₀. When modeling COVID-19, R₀ = 2 is most often used, although Wikipedia cites data from different sources in the interval R₀ = 1.4÷5.7, and when the epidemic decays, by definition, R₀ < 1. But we are now busy with the beginning of the epidemic and will use, like most, R₀ = 2, then our “epidemic quantum” infects 2•R₀ = 4 people. Of these, as we adopted from the Wuhan chart, (10% + 4%)•4 = 0.56 people will become infected from an asymptomatic one; (46% + 2%)•4 = 1.92 people will become infected from a pre-symptomatic one; and 38%•4 = 1.52 people will become infected from the latter one again, but already in the symptomatic stage.

_______

* Strictly speaking, even with equal “production” of symptomatic and asymptomatic ones, their ratio in the description of transmission of infection should not be equal. 100% of asymptomatic ones live the entire period of being the virus carrier, while some of the symptomatic ones die, and at the beginning of the epidemic this is a perceptible part, up to a quarter of all patients. However, deaths occur on the final days of the 21-day cycle (we are talking here about averaged, typical values and scenarios), and these days, according to our infectivity curve, the contribution of the carrier to infection is already very small, on the order of a fraction of a percent. With all the approximities of our calculation, it makes no sense to take into account such nuances. This is the task of future medical statisticians of COVID-19.

In a different way, the number of infected can be found on the I₂₄ curves, integrating them at the corresponding time intervals (integrals are equal to the areas under a curve). So, the full integral from the left curve should give 0.56 people (from here we get the coefficient 0.0409), and the integral from the right curve in the interval from 0 to 5 days should give 1.92 people (calculation shows that for this the beginning of the right schedule should be numerically 16.0 times larger than on the left chart: so many times pre-asymptomics are more contagious than asymptoms). I recall that according to C_t data, we expected the difference in infectivity to be much smaller, on the order of two times. There is nothing to be done, such, at the time when I calculate this, the scope of uncertainty in the data on COVID-19! And, since both the C_t data and the Wuhan chart are based on early and scanty observations, I cannot even decide which ones are more reliable.

But for the calculation, I take the data from my graphs, since in the plateau areas that are there (at least on the left graph), the growth of C_t can continue by orders of magnitude (it will be tens, hundreds, thousands of extra bullets, but they will not make the affected target to be more affected), so the ratio of C_t of the left and right graphs can be anything. C_t is not directly related with the factor of practical infectiousness, which is important for us here.

The integral of the right curve from 5 days to the end should give 1.52 people. It can be divided into the sum of three integrals:

– from 5 to 6.5 days, where the function I₂₄₍₊₎ repeats the function I_24(–), but increased by 16 times, as in the pre-symptomatic period;

– from 6.5 to 7 days, where I postulate a linear drop in I₂₄₍₊₎ several times (we do not yet know how much);

– and, finally, from 7 days to the end, where I₂₄₍₊₎ repeats I_24(–), but with a new unknown coefficient reached at the end of the linear fall.

In the sum of three integrals, this coefficient turns out to be the only unknown quantity, and since the sum should be equal to 1.52 people, we can calculate it. It is 1.13, that is, after the 7th day from infection or, equivalently, from the second day of illness, a person, thanks to isolation, is no longer 16 times, but only 13% more infectious than an asymptomatic one with the same length of infection t_i = 7+ days. Biology is suppressed 16/1.13 = 14.1 times!

This, apparently, is the most unreliable coefficient in our model, because, in addition to the poverty and fragmentation of the statistics from which it is calculated, local specificity can very strongly affect it. In Wuhan, the degree of isolation of patients was, according to media reports, quite high. Whether this will be so in other countries is unknown. But, I repeat, I have to work with what one can get. I set out in such detail the entire line of reasoning precisely so that someone in the future could more easily make the necessary adjustments based on the best statistics.

Ниже даны таблицы значений I₂₄ для симптомников и бессимптомников, проходящих статистически типичный (усреднённый) цикл носительства вируса SARS-CoV-2: 5 дней инкубации и 16 следующих дней, завершающихся либо победой организма над вирусом, либо смертью пациента. Я пользовался этими значениями. Они, конечно, условны, как условны графики и формулы, давшие эти цифры, но реальную заразность носителей вируса SARS-CoV-2, когда её статистически надёжно измерят, можно будет представить таким же образом, лишь изменив численные значения I₂₄.

The following are tables of I₂₄ values for symptomatic and asymptomatic individuals who undergo a statistically typical (averaged) SARS-CoV-2 virus carrier cycle: 5 days of incubation and 16 following days, ending either with the victory of the body over the virus or with the death of the patient. I used these values. They, of course, are conditional, as are the graphs and formulas that gave these numbers, but the real infectivity of SARS-CoV-2 virus carriers, when it is statistically reliably measured, can be represented in the same way, only by changing the numerical values of I₂₄.

t_i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I₂₄₍₊₎

0,007

0,295

0,458

0,547

0,598

0,624

0,458

0,046

0,046

0,046

I_24(–)

0,000

0,018

0,029

0,034

0,037

0,039

0,040

0,040

0,040

0,040

t_i

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

I₂₄₍₊₎

0,045

0,044

0,042

0,038

0,032

0,026

0,019

0,012

0,007

0,003

0,001

I_24(–)

0,040

0,039

0,037

0,033

0,029

0,023

0,017

0,011

0,006

0,003

0,001

Теперь у нас есть способ «полусглаженно» проследить, где множащиеся цепочки индивидуальных передач вируса начинают достаточно погашать друг у друга отклонения от статистически усреднённых сценариев, то есть где можно переходить к макроописанию развития эпидемии. «Полусглаженность» будет выражаться в том, что у каждого прибывающего в страну очередного носителя вируса инфекционный стаж t_i мы будем выбирать случайным образом с равной вероятностью; так же будем выбирать и статус «симптомник/бессимптомник»; но заразность I₂₄ будем брать из вышеприведённых таблиц (хотя в реальности она варьируется довольно сильно). Лучше было бы в нашей игре в кости и I₂₄ задавать случайным образом, но проблема в том, что даже осреднённый профиль I₂₄ мы принимали чисто умозрительно, а уж о том, как он может варьироваться у меня нет никаких данных даже для подобного умозрительного моделирования.

Инфекционный стаж t_i у бессимптомников может быть любым, потому что они не ощущают болезни и не соотносят с ней свои обычные перемещения. Однако для симптомников я принял за основу иной сценарий. В тех реалиях, которыми сопровождалось даже начало пандемии COVID-19, вряд ли человеку с довольно выраженными симптомами заболевания позволили пересекать государственные границы. Поэтому для симптомников я ограничивал t_i при въезде в страну первыми семью днями. Потеря в импорте инфекции при этом невелика: на первые 7 дней при нашей кривой заразности приходится 88% передач инфекции. Но из-за этого фильтра, при постулированном равном количестве симптомников и бессимптомников за границей, поток симптомников через границу оказывается втрое меньше потока бессимптомников.

По описанной выше процедуре был сформирован поток въезжающих в страну вирусоносителей, начиная с самого первого (его въезд знаменовал первый день эпидемии). Каждый въехавший получал статус (до)симптомника или бессимптомника в пропорции 1:3 и личный инфекционный стаж t_i (который впоследствии ежедневно возрастал на 1). По достижении t_i = 22 лицо переставало быть вирусоносителем. Ежедневно по всем вирусоносителям (как въехавшим, так и тем, кого они успели заразить внутри страны) суммировались их значения I₂₄, и сумма случайным образом округлялась до целого, давая число внутренних новоинфицированных в данный день эпидемии (с t_i = 1 в этот день). Все новоинфицированные поровну делились на симптомников и бессимптомников, а если число их оказывалось нечётным, то судьбу неподелённого решал случай, как описано выше.

Результаты этого численного эксперимента представлены ниже. Левый график показывает в логарифмическом масштабе, как росло в стране число симптомников (красные линии) и бессимптомников (зелёные линии), N_i (чел.). Тонкими линиями показаны лица, заразившиеся уже внутри страны. На правом графике показаны посуточно рассчитанные коэффициенты роста инфицированных k_e (это коэффициент в уравнении экспоненциального роста инфицированных N_i = e^k_e•t_e, где t_e – время эпидемии в днях, отсчитываемое со дня появления в стране первого инфицированного).

Now we have a way to “semi-smoothed” tracing where the multiplying chains of individual virus transmissions begin to sufficiently compensate for each other deviations from statistically averaged scenarios, that is, where we can proceed to a macro-description of the development of the epidemic. “Semi-smoothing” will be expressed in the fact that for each new carrier of the virus arriving in the country, we will choose the length of infection t_i at random with equal probability; we will also choose in the same way the status "symptomatic/asymptomatic"; but the infectiousness I₂₄ will be taken from the above tables (although in reality it varies quite strongly). It would be better in our dice game to set randomly I₂₄ too, but the problem is that even the averaged profile of I₂₄ we accepted quite speculatively, and about how it can vary I have no data even for such speculative modeling.

The asymptomatic ones can have any length of infection t_i, because they do not feel the disease and do not correlate their usual movements with it. However, for the symptomatic ones, I took a different scenario as a basis. In the realities that accompanied even the onset of the COVID-19 pandemic, it is unlikely that a person with fairly pronounced symptoms of the disease was allowed to cross national borders. Therefore, for symptomatic ones, I limited t_i when entering the country for the first seven days. The loss in the import of infection is small: in the first 7 days, with our contagion curve, 88% of the infections are transmitted. But because of this filter, with an equal number of symptomatic and asymptomatic individuals postulated abroad, the flow of symptomatic ones across the border is three times less than the flow of asymptomatic ones.

According to the procedure described above, a flow of virus carriers entering the country was formed, starting from the very first one (his entry marked the first day of the epidemic). Each entrant received a status of (pre)symptomatic or asymptomatic in a ratio of 1:3 and personal length of infection t_i (which subsequently increased by 1 daily). Upon reaching t_i = 22, the person ceased to be a virus carrier. Every day, for all virus carriers (both those who entered and those whom they managed to infect within the country), their I₂₄ values were summed, and the amount was randomly rounded to the nearest whole, giving the number of internal newly infected on that day of epidemics (with t_i = 1 on that day). All newly infected were equally divided into symptomatic and asymptomatic, and if their number turned out to be odd, then the fate of the unshared was decided by chance, as described above.

The results of this numerical experiment are presented below. The left graph shows on a logarithmic scale how the number of symptomatic ones (red lines) and asymptomatic ones (green lines), N_i (people) grew in the country. Thin lines indicate persons who have become infected within the country. The right graph shows the daily calculated growth rates of infected k_e (this is the coefficient in the equation of the exponential growth of infected N_i = e^k_e•t_e, where t_e is the epidemic time in days, counted from the day the first infected person appeared in the country).

Из графиков видно, что индивидуальный случайный разброс становится достаточно малым примерно к 10-му дню эпидемии. (Но не по тому явному календарю эпидемии, которым мы пользовались в предыдущем разделе! Это не 10-й день после дня регистрации 10-й смерти от COVID-19, а 10-й день после скрытого от нас дня, когда в страну незамеченно прибыл первый инфицированный.) После 10-го дня по этому тайному календарю линии на левом графике достаточно приближаются к прямым (как должно быть для экспоненты в таких координатах), а на правом графике суточный коэффициент k_e делается достаточно стабильным.

Кстати, k_e стабилизировался на уровне около 0,19, а по наблюдениям за видимой частью айсберга эпидемии он ближе к ln(1,15) ≈ 0,14 (и по такому значению в эксперименте росло число ежедневно въезжающих в страну инфицированных). Скорее всего, это говорит о том, что нужно немного занизить значение R₀, допустим, до 1,8÷1,9. Ясность в этом вопросе появится лишь с накоплением хорошей медицинской статистики по COVID-19, хотя не видно, чтобы кто-то был озабочен сбором таких данных. Зная истинный (а не принятый нами модельный) вид кривых заразности для симптомников и бессимптомников, зная истинную, а не выборочную уханьскую диаграмму распределения передач инфекции, можно, варьируя значения R₀, в подобном численном эксперименте найти, при каком R₀ k_e после десятого дня будет выходить на своё истинное значение (которое тоже надо знать).

The graphs show that the individual random spread becomes quite small by about the 10th day of the epidemic. (But not according to the explicit calendar of the epidemic that we used in the previous section! This is not the 10th day after the day of registration of the 10th death from COVID-19, but the 10th day after the day hidden from us when the first one infected arrived unnoticed in the country.) After the 10th day, according to this secret calendar, the lines on the left chart are quite close to straight lines (as it should be for the exponent in such coordinates), and on the right chart the daily coefficient k_e is made quite stable.

By the way, k_e stabilized at about 0.19, and according to observations of the visible part of the iceberg of the epidemic, it is closer to ln(1.15) ≈ 0.14 (and by this latter value in the experiment the number of infected people daily entering the country increased). Most likely, this suggests that we need to slightly underestimate the value of R₀, for example, to 1.8÷1.9. Clarity in this matter will appear only with the accumulation of good medical statistics on COVID-19, although it is not visible that anyone was concerned about the collection of such data. Knowing the true (and not the model adopted by us) form of the contagion curves for symptomatic and asymptomatic people, knowing the true and not a selective Wuhan diagram of the distribution of transmission of infection, one can find, by varying the values of R₀, in a similar numerical experiment, at which R₀ k_e will approach after the tenth day its true value (which one also need to know).

Из нашего эксперимента можно, по-видимому, взять такие выводы:

● примерно после 10-го дня эпидемии (по её истинному тайному календарю) рост числа инфицированных достаточно надёжно можно описывать экспонентой;

● к 10-му истинному дню эпидемии в стране имеется примерно 10 симптомников и 13 бессимптомников, из которых примерно по 5 человек заразились уже внутри страны;

● после 10-го истинного дня эпидемии доля внутренних заражений быстро возрастает и к 20-му дню близка к 80%.

From our experiment, we can apparently take the following conclusions:

● after about the 10th day of the epidemic (according to its true secret calendar), the increase in the number of infected people can be reliably described by the exponent;

● by the 10th true day of the epidemic, the country has about 10 (pre)symptomatic ones and 13 asymptomatic ones, of which about 5 people in each group have become infected within the country;

● after the 10th true day of the epidemic, the share of internal infections is growing rapidly and by the 20th day is close to 80%.

Отдельный вопрос – когда эпидемию заметят. Я остановил свой численный эксперимент на 21-м истинном дне эпидемии. С поправкой на то, что, скорее всего, цифры внутреннего инфицирования надо мысленно занижать (корректировать на более надёжное значение k_e, то есть за 11 дней, прошедших после 10-го дня, уменьшать примерно в (e^1,19/1,15)¹¹ ≈ 1,75 раза), получим, что к 21-му истинному дню в стране примерно 120 инфицированных, чуть менее половины из которых – (до)симптомники. При этом всего несколько человек (и все – бессимптомники) завершили 21-дневный цикл вирусоносительства. Единицы сиптомников находятся на второй неделе болезни. Если даже их пробы тестируются на SARS-CoV-2, то, скорее всего, результаты ещё не получены. Возможно, один или два из них уже умерли, но неизвестно, идентифицированы ли они как жертвы COVID-19, или их смерть приписали сопутствующим заболеваниям либо обычной пневмонии.

На мой взгляд, такая картина 21-го истинного дня эпидемии весьма близка к ситуации, когда диктор новостей сообщает: «Сегодня в нашей стране зарегистрирован первый больной новой коронавирусной инфекцией». Где-то это произойдёт раньше 21-го дня (хотя вряд ли), где-то позже, где-то существенно позже. Тем не менее, когда вы слышите эти слова диктора, следует знать, что в это время по стране невозбранно циркулируют около ста бессимптомных и досимптомных вирусоносителей, и несколько десятков болеющих симптомников отнюдь не находятся в изолированных боксах. По крайней мере, такую картину всего айсберга COVID-19 предсказывает наш численный эксперимент.

Но видим-то мы только надводную часть. Посмотрим, что ещё можно извлечь из неё, и обратимся, конечно, к наилучшей статистике COVID-19 – германской.

A separate question is when the epidemic will be noticed. I stopped my numerical experiment on the 21st true day of the epidemic. Adjusted for the fact that, most likely, the numbers of internal infection must be mentally underestimated (adjusted for a more reliable value of k_e, that is, for 11 days after 10 days, reduced by approximately (e^1.19/1.15)¹¹ ≈ 1.75 times), we get that by the 21st true day there are about 120 infected people in the country, a little less than half of which are (pre)symptomatic. At the same time, only a few people (and all are asymptomatic) completed the 21-day cycle of virus carrying. Several syptomatic ones are in the second week of the disease. Even if their samples are tested on SARS-CoV-2, then most likely the results have not yet been obtained. Perhaps one or two of them have already died, but it is not known whether they were identified as victims of COVID-19, or their death was attributed to concomitant diseases or common pneumonia.

In my opinion, this picture of the 21st true day of the epidemic is very close to the situation when the news announcer reports: “Today in our country the first patient with a new coronavirus infection is registered.” Somewhere this will happen before the 21st day (although hardly), somewhere later, somewhere much later. Nevertheless, when you hear these words of the announcer, you should know that at that time about a hundred asymptomatic and pre-symptomatic virus carriers circulate unhindered around the country, and several dozens of sick symptomatic ones are far from being in isolated boxes. At least, such a picture of the entire COVID-19 iceberg is predicted by our numerical experiment.

But we see only the surface part. Let's see what else can be learned from it, and we turn, of course, to the best statistics of COVID-19 – German.

Из каких типичных случаев складываются национальные статистики выявленных инфекций вирусом SARS-CoV-2? Видимо, есть три основных группы людей, у кого были сделаны тесты на наличие вируса:

● заболевшие с симптомами, похожими на COVID-19 (и отчасти умершие от заболеваний с подобными симптомами);

● лица, контактировавшие с инфицированным, у которых пробы берутся в ходе эпидемических расследований;

● те, кто сделали тесты по собственной инициативе.

Эта статистика неизбежно отстаёт от реального процесса инфицирования. Бессимптомники и досимптомники могут попасть в статистику лишь из второй или третьей группы, и у бессимптомников это может случиться при любом инфекционном стаже, а у досимптомников – при любом в пределах примерно 7 дней (5 дней инкубационного периода + до двух дней на обработку проб). У симптомников из первой группы типичная дата взятия анализа, вероятно, чаще всего приходится на дату госпитализации, а это, я думаю, типично случается к середине или концу второй недели инфекционного стажа, плюс день-два на обработку теста – в итоге получаем вклад в национальную статистику при типичном инфекционном стаже ~12–13 дней.

Усредняя по всем трём группам, я думаю, получим, что средний инфекционный стаж на дату включения носителя в национальную статистику близок к 10 дням*.

_______

* 0,5•(21/2) + 0,5•[(1/3)•(7/2) + (2/3)•12,5] ≈ 10.

Здесь 0,5 – доли (до)симптомников и бессимптомников; 1/3 и 2/3 – доли досимптомников и симптомников, исходя из длительности среднего пребывания в том и другом статусе, одна и две недели соответственно; 21/2, 7/2 и 12,5 – оценки среднего инфекционного стажа каждой из названных групп носителей на дату учёта в национальной статистике.

Это означает, что в среднем те, кто пополнил национальную статистику в такой-то день, заразились за ~10 дней до этого. Однако эта разница, скорее всего, в ходе развития эпидемии должна сокращаться. Бдительность медиков и паранойя в обществе должны приводить к тому, что новоинфицированные будут выявляться раньше. Насколько раньше, я оценить количественно не могу. Может быть, на треть, может быть (в образцовых странах) и наполовину? Обозначим средний интервал между заражением и обнаружением t_r.

What are the typical cases of national statistics on detected SARS-CoV-2 infections? Apparently, there are three main groups of people who have been tested for the presence of the virus:

● patients with symptoms similar to COVID-19 (and partially dead from diseases with similar symptoms);

● persons in contact with the infected, from whom samples were taken during epidemiological investigations;

● those who did the tests on their own initiative.

These statistics inevitably lag behind the actual infection process. Asymptomatic and pre-symptomatic can only be included in the statistics from the second or third group, and in asymptomatic patients this can happen with any length of infection, and in pre-symptomatic patients with any length within about 7 days (5 days of the incubation period + up to two days for sample processing). The date of analysis for symptomatic ones from the first group typically most likely is the date of hospitalization, and this, I think, typically happens by the middle or the end of the second week of the length of infection, plus a day or two for processing the test – as a result, we get a contribution to the national statistics for a typical length of infection of ~ 12–13 days.

Averaging over all three groups, I think we will find that the average infectious length of service on the date the carrier is included in national statistics is close to 10 days*.

_______

* 0.5•(21/2) + 0.5•[(1/3)•(7/2) + (2/3)•12.5] ≈ 10.

Here, 0.5 is the proportion of (pre)symptomatic and asymptomatic ones; 1/3 and 2/3 – the proportion of pre-symptomatic and symptomatic ones, based on the duration of the average stay in one and the other status, one and two weeks, respectively; 21/2, 7/2 and 12.5 – estimates of the average length of infection in each of these groups of carriers at the date of registration in national statistics.

This means that, on average, those who were added to national statistics on such and such a day became infected ~10 days before. However, this difference is likely to be reduced during the course of the epidemic. The vigilance of doctors and paranoia in society should lead to the fact that newly infected will be detected earlier. How much earlier, I can not quantify. Maybe a third, maybe (in best countries) even half? Denote average interval between infection and detection t_r.

На схеме, суммирующей сказанное выше, показаны истинная картина заражения (красный верх), доступная, конечно, лишь всеведущим сущностям, и учётная статистика (зелёный низ), доступная нам. Учётная статистика сдвинута на t_r дней и неполна (зелёные столбики суточных передач инфекций короче своих красных прообразов).

Обе статистики, небесная и земная, выводят число вновь заражённых как сумму «вкладов» от имеющихся в обществе инфицированных разного стажа t_i (шкала t_i нанесена вверху). «Вклады» пропорциональны числу инфицированных данного стажа t_i и их заразности, обозначенной на схеме суточным числом передач инфекции I_24i, а визуально – разными оттенками красного в столбиках Δ_i.

Поскольку подсчёты I₂₄ – это дело будущего, а делать прогнозы желательно сегодня, нужно найти рабочую альтернативу. Например, неизвестную нам пока кривую I₂₄(t_i) мы можем имитировать таблицей коэффициентов, подобной той, которую я применял в численном эксперименте. Или, грубее, но проще – ступенчатой функцией «заразен / не заразен». В начальную часть инкубационного периода, когда вирус ещё колонизирует нового носителя, инфицированный не заразен для окружающих (и уже достаточно ясно, что этот период колонизации t_c лежит в среднем между одним и двумя днями). Скорее всего, и в последние несколько дней 21-дневного среднего цикла вирусоносительства заразность носителя весьма мала*.

_______

* Возможно, она заметно меньше, чем я полагал, когда писал это несколько недель назад и затем довольно много вычислял, исходя из своих тогдашних предположений. В июньских рекомендациях ВОЗ** сообщается, что «по прошествии 8 дней от момента появления симптомов жизнеспособные вирусные частицы не определяются у пациентов с лёгким течением инфекции, тогда как у пациентов с тяжёлым течением заболевания этот срок может оказаться больше». В последующие дни больные ещё выделяют вирус, но уже неспособный к размножению. Это говорит о том, что период заразности в среднем может оказаться близок не к 17 дням, как я полагал, а к 12÷13 дням (3÷3,5 дня до симптомов + 8÷9÷10 дней после появления симптомов, усредняя показатели для лёгких и тяжёлых больных).

Мне совершенно не хочется переделывать весь объём вычислений заново, для более короткого среднего периода заразности. И, к счастью, этого и не требуется. Один из плюсов k-модели – слабая зависимость её выводов от этого показателя. Приступая к объёмистым расчётам, я поварьировал период заразности и убедился в том, что он заметно сказывается на описании лишь самых первых дней эпидемии. Я не включал этого в текст заметки, чтобы не перегружать её всякими деталями, интересными мне, но вряд ли большому числу читателей. Однако вижу, что во избежание критики есть смысл рассказать об этом хотя бы в сноске.

Меняя период заразности, мы изменим абсолютное значение контрольных индикаторов, но их динамика затронется незначительно (кроме первых дней эпидемии). Это нетрудно показать математически, приняв во внимание динамику числа суточных заражений в пределах срока заразности, и те, кто не захочет верить мне на слово, могут сделать это сами.

Между тем все практические выводы в этой модели опираются не столько на абсолютные значения индикаторов, сколько на их динамику. Впрочем, здесь мы уже довольно забегаем вперёд, и лучше сейчас продолжить чтение, запомнив это примечание.

The diagram summarizing the above shows the true picture of infection (red top), available, of course, only to omniscient entities, and accounting statistics (green bottom), available to us. The accounting statistics are shifted by t_r days and incomplete (the green bars of the daily transmission of infections are shorter than their red protoplasts).

Both statistics, celestial and earthly, deduce the number of newly infected as the sum of “contributions” from present in the society infected people of different infection lengths t_i (the t_i scale is shown at the top). “Contributions” are proportional to the number of people infected with given t_i and their infectiousness, indicated in the diagram by the daily number of infections I_24i, and visually – by different shades of red in the Δ_i columns.

Since I_24i calculations are a matter of the future, and it is desirable to make forecasts today, we need to find a working alternative. For example, we can simulate the I_24i(t_i) curve, which is still unknown to us, by a table of coefficients similar to the one I used in a numerical experiment. Or, coarser, but simpler – by stepwise function "contagious / not contagious." In the initial part of the incubation period, when the virus is still colonizing a new carrier, the infected person is not contagious to others (and it is already clear that this period of colonization t_c lies on average between one and two days). Most likely, in the last few days of the 21-day average carrier cycle, the infectiousness of the carrier also is very small*.

_______

* Perhaps it is noticeably smaller than I thought when I wrote this a few weeks ago and then calculated quite a lot based on my assumptions of that time. A WHO June recommendation** states that “after 8 days from the onset of symptoms, viable viral particles are not detected in patients with mild infection, while in patients with severe disease, this period may be longer.” In the following days, patients still secrete a virus, but being already incapable of reproduction. This suggests that the infectivity period on average may be close not to 17 days, as I thought, but to 12÷13 days (3÷3.5 days before the symptoms + 8÷9÷10 days after the onset of symptoms, averaging the indicators for mild and severe patients).

I absolutely do not want to redo the entire volume of calculations anew, for a shorter average infectious period. And, fortunately, this is not required. One of the advantages of the k-model is the weak dependence of its conclusions on this indicator. Coming to voluminous calculations, I varied the infectious period and made sure that it significantly affects the description of only the very first days of the epidemic. I did not include this in the text of the note, so as not to overload it with all sorts of details interesting to me, but hardly to a large number of readers. However, I see that in order to avoid criticism, it makes sense to talk about this at least in the footnote.

Changing the period of infectiousness, we will change the absolute value of the control indicators, but their dynamics will be slightly affected (except for the first days of the epidemic). This is easy to show mathematically, taking into account the dynamics of the number of daily infections within the infectious period, and those who do not want to take my word for it can do it themselves.

Meanwhile, all practical conclusions in this model are based not so much on the absolute values of indicators as on their dynamics. However, here we are already running ahead quite a bit, and it is better to continue reading now, remembering this note.

Таким образом, период заразности (трансмиссивности) t_t из 21-дневного цикла вирусоносительства занимает примерно 15÷17 дней. И вместо недоступной нам синей формулы, показанной на схеме, мы, опираясь на учётные данные, можем оценивать число вновь инфицированных в некий день как произведение среднего коэффициента передач инфекции k₂₄ (он заменяет индивидуальные для каждого t_i величины I₂₄) на среднее число трансмиттеров N_t. А это число при таком подходе будет суммой учётных суточных приростов Δ_i за t_t предыдущих дней, но отсчитанных не со вчерашнего дня, а со дня, отстоящего на t_c дней назад от текущего дня:

Thus, the period of infectivity (transmissibility) t_t from the 21-day cycle of virus carrying takes approximately 15–17 days. And instead of the blue formula inaccessible to us, shown in the diagram, we, based on the accounting data, can estimate the number of newly infected on a certain day as the product of the average transmission coefficient of infection k₂₄ (it replaces the individual I₂₄ values for each t_i) by the average number of transmitters N_t. And this number with this approach will be the sum of the recorded daily increases Δ_i for t_t of previous days, yet counted not from yesterday, but from the day that is t_c days ago from the current day:

(В последнем уравнении для удобства записи использовано C – итоговое число всех инфицированных, учтённых с начала эпидемии.)

При этом мы понимаем, что в учёте фигурирует лишь вершина айсберга, поэтому все величины в уравнениях и взяты в кавычки. Истинные величины и суточных приростов инфицированных и их общей численности могут в разы отличаться от зарегистрированных величин. Но так ли плохи подобные оценки? Типичной тенденцией должно быть повышение степени учёта, поэтому чем старше данные, тем сильнее, как правило, они должны быть занижены. Если мы, например, делим некую сегодняшнюю величину на некую величину, учтённую t_x дней назад, то знаменатель у нас явно будет систематически занижен, а результат систематически завышен.

Однако можно надеяться, что важная для нас величина k₂₄, которая считается именно так, не очень сильно завышается из-за недооценки истинного числа инфицированных, вряд ли больше, чем на небольшие десятки процентов. Всё же за две-три недели степень учёта в масштабах всей страны и в не самых простых условиях эпидемии вряд ли способна качественно (в разы) улучшиться.

Если всё же возникают такие сомнения, то некоторым индикатором качества учёта инфицированных может послужить статистическая летальность L_t, о которой говорилось в конце предыдущего раздела. На её абсолютную величину, помимо биологии и степени учёта истинного числа инфицированных, должны влиять и уровень здравоохранения в стране, и вид демографической пирамиды и даже особенности национального характера, влияющие на распространение эпидемии. Но в пределах двух-трёх недель, которые нам сейчас важны, из всех этих факторов заметно измениться может лишь уровень учёта инфекции. Если за две-три недели, предшествующие дню учёта «Δ_i», L_t ощутимо снизилась и нет каких-то иных рациональных объяснений этого, то я бы рискнул увеличить «N_t(t_e)» на индекс уменьшения L_t за одну-две недели перед t_e. И, соответственно, во столько же раз уменьшить «k₂₄».

(In the last equation, for convenience of recording, C is used – the total number of all infected counted from the beginning of the epidemic.)

At the same time, we understand that only the tip of the iceberg appears in the accounting, therefore all quantities in the equations are in quotation marks. The true values of the daily growth of infected people and their total number can differ many times from the recorded values. But are such estimates bad? A typical trend should be an increase in the degree of accounting, so the older the data, the stronger, as a rule, they should be underestimated. If, for example, we divide a certain today's value by a certain value taken into account t_x days ago, then the denominator will obviously be systematically underestimated, and the result will be systematically overstated.

However, it can be hoped that important for us value of k₂₄, which is calculated exactly so, is not very much overestimated due to underestimation of the true number of infected people, hardly more than by a few tens of percent. Really, in two or three weeks the degree of accounting throughout the country and in a not easy epidemic background is unlikely to be able to qualitatively (in several times) improve.

If nevertheless such doubts arise, then the statistical mortality L_t, which was introduced at the end of the previous section, can serve as some indicator of the quality of counting infected people. In addition to biology and the degree to which the true number of infected people is taken into account, its absolute value should be influenced by the level of healthcare in the country, the type of demographic pyramid, and even features of a national character that affect the spread of the epidemic. But within the two or three weeks that are important to us now, of all these factors, only the level of infection accounting can noticeably change. If in the two or three weeks preceding the day of counting «Δ_i», L_t significantly decreased and there are no other rational explanations   for   this,   then   I   would   dare   to increase «N_i(t_e)» by the index of decreasing L_t for one to two weeks before t_e. And, accordingly, reduce the «k₂₄» by the same index.

Обратимся опять к Германии. Приняв t_c = 2 дням и t_t = 17 дням, я рассчитал «N_t» по сглаженным суточным приростам (сумма с i-го по i+16-й дни давала «N_t» для i+18-го дня) и затем «k₂₄». В одном варианте я считал «k₂₄» просто делением «Δ_i» для i+1-го дня на «N_t» для i-го дня. В другом варианте я умножал эту дробь на, так сказать, «индекс улучшения учёта» λ по сглаженным данным об L_t. Признавая образцовой немецкую аккуратность, я считал λ для i-го дня как отношение L_t для i-го дня к L_t для i – 7-го дня. На графиках ниже в обычном и логарифмическом масштабах показана синим цветом динамика «k₂₄» без корректировки и зелёным цветом – с коректировкой на индекс λ. (Голубым пунктиром я изобразил вероятную динамику «k₂₄» в начале эпидемии.)

Let us turn again to Germany. Taking t_c = 2 days and t_t = 17 days, I calculated «N_t» by smoothed daily increases (the sum from the i-th to i+16-th days gave «N_t» for i+18th day) and then «k₂₄». In one variant, I calculated «k₂₄» simply dividing «Δ_i» for i+1-st day by «N_t» for i-th day. In another variant, I multiplied this fraction by, so to speak, the “accounting improvement index” λ from the smoothed data on L_t. Recognizing exemplary German accuracy, I considered λ for i-th day as the ratio of L_t for the ith day to L_t for i – 7-th day. In the graphs below, on a regular and logarithmic scale, the dynamics of «k₂₄» without correction is shown in blue and in green – with correction for the λ index. (With a blue dotted line, I depicted the likely dynamics of «k₂₄» at the beginning of the epidemic.)

Координата истинного (предположительно) времени эпидемии на графике отмечена знаком вопроса, потому что я просто «на глаз» прибавил к официальному счёту эпидемии от 10-й зарегистрированной смерти 31 день. Впрочем, для наших текущих рассуждений это не очень важно. Кривая может сместиться вправо-влево, но это не изменит её профиля. Красным фоном показаны дни строгого карантина (с 33-го по 76-й) и смягчённого карантина (с 77-го дня).

Из профиля «k₂₄» следуют как минимум три вывода:

● величина «k₂₄» должна начинаться от естественного, «необузданного» уровня порядка 0,16÷0,17 и в первую неделю карантина уменьшается незначительно;

● после введения карантинных мер 16 марта (это 33-й день на оси графика) «k₂₄» за время около 3 недель примерно экспоненциально уменьшается в несколько раз, до уровня порядка 0,03;

● продержавшись на этом минимальном уровне около трёх недель, величина «k₂₄» после ослабления карантинных мер 28 апреля (76-й день на оси графика) ещё 4÷5 дней держалась на минимальном уровне, затем примерно за 5 дней поднялась и стабилизировалась (с тенденцией небольшого роста) на уровне, примерно на 25÷30% выше минимального (~0,04), но всё ещё в несколько раз ниже естественного уровня. Рост «k₂₄» логично объясняется тем, что федеральное правительство передало вопрос о смягчении карантина на усмотрение земель, и процесс растянулся и во времени и в пространстве.

Через нечто подобное прошли или пройдут почти все страны, охваченные пандемией COVID-19. Где-то переходы к минимальному и затем к умеренному значению «k₂₄» могут, конечно, занять больше времени, чем у немцев, и сами значения минимума и второй ступеньки могут быть иными. Но тем не менее, мы сможем сделать как минимум полуколичественные прогнозы, опираясь на высказанные ранее соображения и некоторые общие закономерности развития эпидемий. И эти прогнозы, наконец, ответят, что же будет и с нами и с нашим императором.

The coordinate of the true (presumably) time of the epidemic on the graph is marked with a question mark, because I simply “by eye” added 31 days to the official account of the epidemic from the 10th recorded death. However, for our current reasoning this is not very important. The curve may shift left and right, but this will not change its profile. The red background shows the days of strict quarantine (from the 33rd to the 76th) and softened quarantine (from the 77th day).

At least three conclusions follow from the «k₂₄» profile:

● the value of «k₂₄» should start from a natural, "unbridled" level of the order of 0.16÷0.17, and in the first week of quarantine decreases slightly;

● after the introduction of quarantine measures on March 16 (this is the 33rd day on the axis of the schedule), «k₂₄» for about 3 weeks roughly exponentially decreases several times, to a level of the order of 0.03;

● having kept at a minimum level of about three weeks, the value of «k₂₄», after the weakening of quarantine measures on April 28 (day 76 on the axis of the graph), for 4÷5 days was kept at the minimum level, then rose and stabilized in about 5 days (with a tendency of a slight increase) at a level of about 25–30% above the minimum (~0.04), but still several times lower than the natural level. The growth of «k₂₄» is logically explained by the fact that the federal government passed the issue of easing quarantine to the discretion of lands, and the process stretched out in time and space.

Almost all countries affected by the COVID-19 pandemic have passed or will pass through something similar. Somewhere, transitions to the minimum and then to the moderate value of «k₂₄» can, of course, take longer than the Germans, and the values of the minimum and the second step may be different. Nevertheless, we can make at least semi-quantitative forecasts based on previously expressed considerations and some general patterns of epidemic development. And these forecasts will finally answer what will happen to us and to our emperor.

Алгоритм прогнозирования в k-Модели таков:

1. Из статистики берём величины посуточно выявленных вновь инфицированных Δ_i.

2. Делаем им статистическое сглаживание (я усреднял по пяти точкам, две слева и две справа от текущей t_e; второе и предпоследнее значения усреднял по трём точкам, первое и последнее не усреднял).

3. Принимаем (интуитивно) значения незаразного периода колонизации t_с (их практически доказанный диапазон – от 1 до 2 дней) и заразного периода трансмиссивности t_t (здесь неопределённость больше; я думаю, наиболее вероятный диапазон – от 15 до 19 дней).

4. Вычисляем эффективное число передатчиков инфекции N_t: для j-го дня оно равно сумме сглаженных Δ_i за дни с j – t_с по j – t_с – t_t + 1 включительно.

5. Находим суточный коэффициент прироста инфицированных «k₂₄»: для j-го дня он равен отношению Δ_i за день j + 1 к N_t за j-й день.

6. Серия вычисленных таким образом «k₂₄» остановится за день до последнего дня имеющихся данных о Δ_i. Поэтому, если нужно строить прогноз дальше, придётся задать последующее поведение «k₂₄» из каких-то соображений.

7. По спрогнозированным значениям «k₂₄» и имеющимся данным о Δ_i вычисляются прогнозные величины N_t(t_x + 1):

The prediction algorithm in the k-model is as follows:

1. From the statistics we take the values of daily registered new infected Δ_i.

2. We do it statistical smoothing (I averaged over five points, two to the left and two to the right of the current t_e; the second and last but one values averaged over three points, the first and last did not average).

3. Accept (intuitively) the values of the non-infectious period of colonization t_с (its practically proven range is from 1 to 2 days) and the infectious period of transmissibility t_t (there is more uncertainty; I think the most probable range is from 15 to 19 days).

4. Calculate the effective number of transmitters of the infection N_t: for the j-th day it is the sum of smoothed Δ_i for days from j – t_c to j – t_c – t_t + 1 inclusive.

5. Find daily growth rate of infected «k₂₄»: for the j-th day it is equal to the ratio of Δ_i for the day j + 1 to N_t for the j-th day.

6. A series of «k₂₄» calculated in this way will stop one day before the last day of available data on Δ_i. Therefore, if you need to build a forecast further, you have to set the further behavior of «k₂₄» for some reason.

7. Based on the predicted values of «k₂₄» and the   available   data   on   Δ_i,   the   predicted   values of N_t(t_x + 1) are calculated:

8. Если на графике «k₂₄»(t) обнаружатся достаточно долгие, не менее t_c + t_t дней, участки, где «k₂₄» ≈ const, для таких участков можно приближённо аналитически решить* уравнение динамики эпидемии, которое на таких участках близко к экспоненте:

8. If the plot «k₂₄»(t) shows sufficiently long, at least t_c + t_t days, sections where «k₂₄» ≈ const, for such sections one can approximately analytically solve* the equation of the epidemic dynamics, which is close to the exponential in such sections:

_______

* Во-первых, в среднем через t_с дней после заражения человек становится трансмиттером, поэтому сдвигом по времени на t_с дней можно превратить уравнение суточного «производства» инфицированных из ранее инфицированных, которым мы пользовались, в аналогичное уравнение «производства» трансмиттеров из предыдущих трансмиттеров (см. уравнения в конце данного примечания).

Во-вторых, с той мерой точности, которую способны дать наши построения, вполне можно от приращений ΔN_t и Δ_i перейти к дифференциалам, и далее, учитывая, что шаг по времени у нас однодневный, т. е. единичный, и к производным. Тогда, если известен вид зависимости «k₂₄»(t) или хотя бы её удовлетворительной имитации, можно поискать решение уравнения суточного «производства» с помощью рядов Тейлора или ещё как-то.

В-третьих, при примерном постоянстве «k₂₄»(t) можно убедиться в том, что N_t ≈ const•exp(a•t) непосредственной подстановкой этой экспоненты в уравнение суточного «производства» (*). После подстановки и сокращения членов с переменной t оно превращается в трансцендентное уравнение, корнем которого будет показатель a. То же справедливо и для уравнения (**), описывающего динамику инфицированных.

_______

* First, on average, after t_с days after infection, a person becomes a transmitter, therefore, by a shift in time by t_с days, one can turn the equation of daily “production” of infected from previously infected, which we used, into a similar equation of “production” of transmitters from previous transmitters (see equations at the end of this note).

Secondly, with the measure of accuracy that our constructions are capable of giving, it is quite possible to go from the increments ΔN_t and Δ_i to differentials, and further, given that we have a one-day time step, i.e., a unit step, go to derivatives. Then, if the form of the dependence «k₂₄»(t) is known, or at least its satisfactory imitation, one can look for a solution of the daily “production” equation using the Taylor series or something else.

Thirdly, with the approximate constancy of «k₂₄»(t), one can verify that N_t ≈ const•exp(a•t) by directly substituting this exponent in the daily “production” equation (*). After substituting and reducing the terms with the variable t, it turns into a transcendental equation whose root is the exponent a. The same is true for equation (**), which describes the dynamics of the infected.

Важнейший параметр этой квазиэкспоненциальной динамики эпидемии – a – находят решением трансцендентного уравнения, упомянутого выше в примечании:

The most important parameter of this quasi-exponential dynamics of the epidemic – a – is found by solving the transcendental equation mentioned in the note above:

На графике выше показаны примеры решения этого уравнения для нескольких t_t и t_с, охватывающих практически весь разумный диапазон. Для наглядности по вертикальной оси справа от значений a дана синяя шкала, показывающая, во сколько раз при том или ином a будет снижаться число трансмиттеров за квартал (91 день). Если a окажется выше красной нулевой линии, т. е. в положительной зоне, то красное продолжение дублирующей шкалы от нулевой линии вверх покажет вам, во сколько раз число трансмиттеров будет возрастать за квартал.

Влияние t_с показано тонкими линиями, сплошной и пунктирной, только для крайних значений t_t, а для трёх средних значений приведены лишь решения для t_с = 1,5.

Снижение числа трансмиттеров возможно лишь при a < 0. А это, в свою очередь, возможно только при «k₂₄» < 1/(t_t – 1).

The graph above shows examples of the solution of this equation for several t_t and t_c, covering almost the entire reasonable range. For clarity, on the vertical axis to the right of the values of a, a blue scale is given showing how many times the number of transmitters will decrease over a quarter (91 days). If a turns out to be above the red zero line, that is, in the positive zone, then the red continuation of the duplicating scale from the zero line up will show you how many times the number of transmitters will increase over the quarter.

The influence of t_c is shown by thin lines, solid and dashed, only for extreme values of t_t, and for three average values only solutions for t_c = 1.5 are given.

A decrease in the number of transmitters is possible only with a < 0. And this, in turn, is possible only with «k₂₄» < 1/(t_t – 1).

Вблизи этого порогового значения экспонента очень чувствительна даже к малым изменениям «k₂₄». Видимо, нечто подобное имеет место и при неэкспоненциальных решениях уравнения динамики эпидемии. Это можно проиллюстрировать очередным численным экспериментом.

Задавая гипотетическое изменение «k₂₄» в будущем, можно по описанному выше алгоритму строить прогноз изменения числа инфицированных. Я поиграл с двумя типами сценариев эволюции «k₂₄» в Германии.

В первом я задал, что «k₂₄» после 117-го дня (это последний день, для которого его можно найти по реальной статистике на дату моих вычислений) продолжает возрастать примерно теми же темпами, как после 83-го дня (на 0,0001 в день), но с условием, что рост прекратится по достижении некоего заданного предела «k_24(max)». Это можно интерпретировать так, что режим карантина прогрессивно ослабляют, но в какой-то момент дальнейшее ослабление прекращают.

Оказалось, что при «k_24(max)» < 0,0588 (это всего на 0,0037, или на 6%, меньше идеального экспоненциального предела 1/(t_t – 1) = 1/16 = 0,0625) происходит снижение числа инфицированных, вначале замедляющееся, а по достижении «k_24(max)» выходящее на экспоненциальный режим.

При «k_24(max)» = 0,0588 N_i около месяца снижается за 6 месяцев до ~1400, за 7 месяцев до ~780, за 8 месяцев до ~500, за 10 месяцев до ~300, и через год фиксируется на отметке ~285 инфицированных.

А при «k_24(max)» > 0,0588 снижение числа заражённых замедляется, прекращается и сменяется экспоненциальным ростом (той самой второй волной эпидемии, о которой часто предупреждают).

Рост или снижение N_i происходят тем быстрее, чем дальше «k_24(max)» от 0,0588, соответственно, вверх или вниз. Ниже показана динамика «k₂₄» и N_i для «k_24(max)», равного 0,0588 (синий цвет) и уменьшенного (зелёный цвет) или увеличенного (красный цвет) всего на 0,005.

Near the threshold value, the exponent is very sensitive even to small changes in «k₂₄». Apparently, something similar takes place with non-exponential solutions of the equation of dynamics of the epidemic. This can be illustrated by another numerical experiment.

By setting a hypothetical change in «k₂₄» in the future, it is possible to forecast the change in the number of infected people using the above algorithm. I played with two types of «k₂₄» evolution scenarios in Germany.

In the first, I set that «k₂₄» after the 117th day (this is the last day for which it can be found from real statistics on the date of my calculations) continues to grow at about the same rate as after the 83rd day (0.0001 per day), but with the condition that growth stops reaching a certain predetermined limit «k_24(max)». This can be interpreted so that the quarantine mode is progressively weakened, but at some point further weakening is stopped.

It turned out that with «k_24(max)» < 0.0588 (it is only 0.0037, or 6%, less than the ideal exponential limit of 1/(t_t – 1) = 1/16 = 0.0625), there is a decrease in the number of infected people, initially slowing down, and upon reaching «k_24(max)» going to exponential mode.

At «k_24(max)» = 0.0588 N_i decreases by 6 months up to ~1400, by 7 months up to ~780, by 8 months up to ~500, by 10 months up to ~300, and by an year is fixed at ~285 infected.

And with «k_24(max)» > 0.0588, the number of infected people slows down, stops and is replaced by exponential growth (the very second wave of the epidemic, about which it is often warned). Growth or decrease occurs the faster, the farther «k_24(max)» is from 0.0588, respectively, up or down. The dynamics of «k₂₄» and N_i is shown below, for «k_24(max)», which is 0.0588 (blue color) and reduced (green color) or increased (red color) by only 0.005.

Как видим, даже очень незначительное отступление от порогового значения «k_24(max)» меняет картину эпидемии очень заметно, от роста с темпом увеличения инфицированных в 7,2 раз за год до падения с темпом сокращения числа инфицированных в 8,5 раз за год.

Заданная в этом цикле расчётов динамика изменения «k₂₄» в прогнозной части выглядит слишком ровной по сравнению с пульсацией «k₂₄» в реальной части (в первые 117 дней). Поэтому я повторил расчёт, наложив на прогнозный тренд «k₂₄» случайный «шум» амплитудой ±0,004 (примерно такая 10%-ная амплитуда разброса «k₂₄» характерна для смягчённого режима карантина в Германии после 83-го дня). Ни в одном из трёх вариантов «k_24(max)» картина не изменилась. Появлялся примерно такой же 10%-ный «шум» на профилях кривых, но в остальном тренд экспоненциального роста или падения числа инфицированных был таким же, как без «шума».

As you can see, even a very slight deviation from the threshold value «k_24(max)» changes the picture of the epidemic very noticeably, from an increase with the rate of increase of infected people by 7.2 times per year to a drop with a rate of decrease in the number of infected people by 8.5 times per year.

The dynamics of the «k₂₄» change in the predicted part specified in this cycle of calculations looks too smooth compared to the «k₂₄» pulsation in the real part (in the first 117 days). Therefore, I repeated the calculation by applying random “noise” with an amplitude of ±0.004 to the «k₂₄» forecast trend (approximately such a 10% amplitude of the «k₂₄» scatter is typical for a relaxed quarantine regime in Germany after the 83rd day). In none of the three variants of «k_24(max)» did the picture change. Approximately the same 10% “noise” appeared on the curve profiles, but otherwise the trend of an exponential increase or decrease in the number of infected people was the same as without the “noise”.

В сценариях второго типа я задавал, что «k₂₄» колеблется, примерно 2/3 времени пребывая около довольно высоких величин, а 1/3 времени опускаясь к низким величинам. Это можно интерпретировать, как политику заметно ослабленного карантина, иногда ненадолго ужесточаемого (период таких пульсаций у меня был выбран около 4 месяцев). Для периодов ужесточения я принял, что «k₂₄» возвращается к величине 0,03, как это было в Германии в конце строгого карантина.

В этих сценариях критической величиной оказалась амплитуда перепадов «k₂₄». При заданном уровне жёсткости строгих этапов (т. е. при заданном минимуме «k₂₄») амплитуда A характеризует степень либерализма карантина в остальные (преобладающие) периоды времени. При амплитуде выше некоторого критического уровня A_o происходит волнообразное (а в логарифмических координатах – скорее, пилообразное) развитие эпидемии, при амплитуде ниже A_o эпидемия волнообразно (пилообразно) идёт на убыль.

Величина A_o зависит от параметров задаваемого профиля пульсаций «k₂₄»: периода и формы пульсаций и «k_24(min)». Для принятых мной «k_24(min)» = 0,03 и профиля пульсаций* A_o оказалась равна ~0,05165. Наложение случайного «шума» на «k₂₄», как и в сценариях первого типа, принципиально не меняло картину.

In scenarios of the second type, I set that «k₂₄» fluctuates, staying for about 2/3 of the time at rather high values, and 1/3 of the time dropping to low values. This can be interpreted as a policy of noticeably weakened quarantine, sometimes briefly toughened (the period of such pulsations I chose for about 4 months). For periods of tightening, I accepted that «k₂₄» returns to 0.03, as it was in Germany at the end of strict quarantine.

In these scenarios, the amplitude of «k₂₄» switching turned out to be a critical value. For a given level of rigidity of the strict stages (that is, for a given minimum of «k₂₄»), the amplitude A characterizes the degree of quarantine liberalism in other (predominant) time periods. At an amplitude above a certain critical level of A_o, epidemic develops in an undulating (and, in logarithmic coordinates, more like a sawtooth) manner; at an amplitude below A_o, the epidemic is declining in the same undulating (sawtooth) manner.

The value of A_o depends on the parameters of the specified ripple profile of «k₂₄»: the period and shape of the ripple and «k_24(min)». For my accepted «k_24(min)» = 0.03 and the ripple profile* A_o turned out to be ~0.05165. The imposition of random “noise” on «k₂₄», as in the first type of scenarios, did not fundamentally change the picture.

Для сопоставимости со сценариями первого типа я смещал амплитуду перепадов «k₂₄» на ±0,01 от A_o: при этом среднее значение «k₂₄» смещалось примерно на ±0,0063, что было близко к величине смещения «k₂₄» на ±0,005 в сценариях первого типа. Результаты второго сценария с амплитудой «шума» ±0,004 показаны на рисунках ниже (цветовые признаки те же, как в предыдущей паре рисунков):

For comparability with scenarios of the first type, I shifted the amplitude of the «k₂₄» switching by ±0.01 from A_o: herewith the average value of «k₂₄» shifted by approximately ±0.0063, which was close to the value of the «k₂₄» bias by ±0.005 in the scenarios of the first type. The results of the second scenario with an amplitude of “noise” ±0.004 are shown in the figures below (color allocations are the same as in the previous pair of figures):

Сценарий с перепадами «k₂₄» оказывается очевидно хуже сценария роста «k₂₄» со стабилизацией на некотором уровне. Равновесие синей линии в первом варианте достигалось при «k₂₄» = 0,0588 на уровне менее 300 инфицированных, а квазиравновесие синей линии во втором варианте при среднем значении «k₂₄» = 0,0633 представляет собой качели, то взлетающие к ~28÷31 тысяче инфицированных, то падающие до ~5,7÷6,7 тысячи. В среднем в стране в таком режиме около 14÷15 тысяч инфицированных, в 50 раз больше, чем в первом сценарии.

На красной линии при среднем значении «k₂₄» = 0,0699 происходит катастрофический рост числа инфицированных, достигающего за два года миллиона человек. При этом линия тренда растёт со скоростью примерно в 8 раз за год. На зелёной линии при среднем значении «k₂₄» = 0,0571 тренд числа инфицированных демонстрирует падение со скоростью примерно в 9 раз за год, но из-за пилообразных скачков число инфицированных под конец второго года эпидемии примерно в двадцать раз превосходит результат зелёной линии первого сценария.

Scenario with switching «k₂₄» turns out to be obviously worse than scenario with growth and later stabilization of «k₂₄» at some level. The blue line in the first scenario achieved equilibrium with «k₂₄» = 0.0588 at a level of less than 300 infected, and quasiequilibrium of the blue line in the second scenario with an average value of «k₂₄» = 0.0633 is a swing, then soaring to ~28÷31 thousand infected, then falling to ~5.7÷6.7 thousand. On average, there are about 14÷15 thousand infected in the country in this regime, 50 times more than in the first scenario.

On the red line with an average value of «k₂₄» = 0.0699 there is a catastrophic increase in the number of infected, reaching one million people for two years. At the same time, the trend line grows at a rate of about 8 times per year. On the green line with an average value of «k₂₄» = 0.0571, the trend in the number of infected people shows a decline at a rate of about 9 times a year, but due to sawtooth jumps, the number of infected people at the end of the second year of the epidemic is about twenty times higher than the result of the green line of the first scenario.

Через два-три месяца по динамике «k₂₄» станет ясно, где баланс медицинских, экономических и психологических интересов немцев найдёт равновесное значение этой важной прогностической характеристики. Тогда можно будет более уверенно вычислять сроки завершения эпидемии COVID-19 в Германии и суммарное количество пострадавших. Но уже сейчас ясно, что за время строгого карантина эпидемия там, по большому счёту, была побеждена. Число инфицированных упало более чем на порядок, а «k₂₄» был снижен до очень хорошего уровня (собственно, два эти фактора неизбежно взаимосвязаны).

Теперь в Германии речь идёт, так сказать, об арьергардных боях. И нужный ресурс для победы в них у немцев есть.

In two to three months, it will become clear by the dynamics of «k₂₄» where the balance of medical, economic and psychological interests of the Germans will find the equilibrium value of this important prognostic characteristic. Then it will be possible to more confidently calculate the timing of the completion of the COVID-19 epidemic in Germany and the total number of victims. But now it’s clear that during the strict quarantine the epidemic there, by and large, was defeated. The number of infected people fell by more than an order of magnitude, and «k₂₄» was reduced to a very good level (in fact, these two factors are inevitably interrelated).

Now in Germany we are talking about rearguard fights, so to speak. And the Germans have the necessary resource for victory in them.

Применяя алгоритм прогноза для России, я принял те же значения усреднённых интервалов до-инфекционности t_с = 2 дня и инфекционности t_t = 17 дней, потому что эти величины в значительной мере биологичны, а биология у всех одна. Корректировать «k₂₄» по статистической летальности L_t в данном случае было бессмысленно, потому что в России L_t явно не годится на роль индикатора качества учёта, о чём выше уже говорилось. Впрочем, корректировка не так уж важна, мы видели в Германии, что заметные поправки она вносит лишь в самые первые дни учёта эпидемии.

Картина реальной динамики эпидемии COVID-19 в России получилась качественно похожей на немецкую, но количественно заметно отличающейся:

Using the forecast algorithm for Russia, I took the same values of the averaged intervals of pre-infectivity t_с = 2 days and infectivity t_t = 17 days, because these values are largely biological, and everyone has the same biology. Correcting «k₂₄» by the statistical mortality L_t in this case was pointless, because in Russia L_t is clearly not suitable for the role of an indicator of the quality of accounting, as mentioned above. However, the correcting is not so important, we saw in Germany that it makes significant amendments only in the very first days of the epidemic.

The picture of the real dynamics of the COVID-19 epidemic in Russia turned out to be qualitatively similar to the German one, but quantitatively noticeably different:

Первые двое инфицированных вирусом SARS-CoV-2 в России были выявлены 31 января. Если условно принять, согласно моделированию скрытого этапа эпидемии, что это было примерно 21-м днём распространения инфекции, то первым днём эпидемии COVID-19 в России окажется 11 января. Исходя из этой даты была построена условная шкала t_е?.

В течение февраля постепенно ограничивалось сообщение с Китаем, с 11 марта началось закрытие границ с другими странами, а с 30 марта в России начал действовать де-факто общий карантинный режим. По шкале t_е? это был 80-й день эпидемии.

Быстрой реакции россиян на введение карантинных мер не последовало, несмотря на кордоны, рейды полиции и крупные административные штрафы. Я бы не придавал значения кажущемуся быстрому падению «k₂₄» в районе сотых дней по шкале t_е?. Более достоверной должна быть голубая пунктирная линия, у которой есть достаточно надёжная точка привязки к величине порядка 0,16÷0,17 – природному значению «k₂₄» в докарантинный период свободного распространения инфекции.

Почти линейное снижение коэффициента заражаемости «k₂₄», которое у немцев уложилось в неполный месяц, у россиян растянулось на все шесть недель строгого карантина и ещё неделю после объявления о первой волне ослабления карантинных мер (граница двух режимов карантина лежит на 123-м дне по шкале t_е?, или на 11 мая). У немцев был достигнут минимум на отметке «k₂₄» ≈ 0,03, а у россиян – на отметке «k₂₄» ≈ 0,05. Подъём «k₂₄» после ослабления карантина у немцев и россиян оказался схожим: занял порядка двух дней и дал прирост «k₂₄» на ~0,01. Однако начало подъёма у немцев произошло через два-три дня после ослабления карантина, а у россиян – почти через две недели.

Помимо большей инерционности и вялости отклика на введение и ослабление карантинных мер, россияне сами себе испортили динамику «k₂₄» бурным празднованием   длинного весеннего уик-энда 1–3 мая. Это 112–115 дни по шкале t_е?, и мы видим, что падение «k₂₄» в эти дни сменилось ростом, дав потерю порядка 0,05, а это очень много для «k₂₄».

В итоге, отсидев в строгом карантине те же 6 недель, как немцы и большинство других стран, россияне совершенно не достигли двух главных целей карантина:

● не успели снизить «k₂₄» до значений хотя бы порядка 0,02÷0,03;

● и не продержались на этих значениях хотя бы две (а лучше три) недели, чтобы примерно на порядок сократить число инфицированных в стране.

В итоге, как мы ошеломленно видим на правом верхнем графике, ослабление карантина было объявлено в России не у подножия пика N_i после прохождения вершины и даже не на вершине, а за неделю до прихода на вершину!

Я понимаю, что карантин убивает экономику, гнетёт психику, и проч. и проч. Вопрос очень сложный, комплексный, и, вероятно, большинство россиян обрадовалось ослаблению карантинных мер 11 мая. Но они-то не видели моих графиков, а тот, кто принимает решения, видел, и видел он не эти мои самоделки человека, на старости лет вникающего в совершенно новую для себя область, а гораздо более точные и профессиональные данные и прогнозы лучших специалистов своего дела.

Как бы то ни было, с медицинской точки зрения принятое решение было просто преступным. Установившаяся накануне 11 мая динамика падения «k₂₄» явно показывала, что ещё неделя, если не меньше, – и будет достигнут тот же минимум, которого быстро достигли немцы. А затем ещё хотя бы две недели продержаться около этого минимума – и число инфицированных упало бы на порядок. Эпидемия была бы сломлена.

The first two infected with SARS-CoV-2 virus in Russia were detected on January 31. If we conditionally accept, according to the modeling of the hidden stage of the epidemic, that this was approximately the 21st day of the spread of infection, then the first day of the COVID-19 epidemic in Russia will be January 11th. Based on this date, the conditional scale of t_е? was constructed.

During February, communication with China was gradually limited. On March 11, the closure of borders with other countries began, and on March 30, a de facto general quarantine regime began to operate in Russia. On the t_е? scale it was the 80th day of the epidemic.

There was no quick reaction of Russians to the introduction of quarantine measures, despite cordons, police raids and heavy administrative fines. I would not attach importance to the apparent rapid decline of «k₂₄» in the region around the hundredth day on the t_е? scale. A more reliable should be the blue dashed line, which has a fairly reliable point of reference to a value of the order of 0,16÷0,17 – the natural value of «k₂₄» in the pre-quarantine period of the free spread of infection.

The almost linear decrease in the infection rate «k₂₄», which the Germans met in less than a month, extended in Russia for all six weeks of strict quarantine and another week after the announcement of the first wave of weakening of quarantine measures (the border of the two quarantine modes lies on the 123rd day on a scale t_е?, or on May 11). The Germans reached a minimum at the level of «k₂₄» ≈ 0.03, and the Russians – at the level of «k₂₄» ≈ 0.05. The rise of «k₂₄» after the weakening of quarantine among the Germans and Russians turned out to be similar: it took about two days and gave an increase in «k₂₄» by ~0.01. However, the rise in Germany began two to three days after the weakening of quarantine, and in Russia almost two weeks later.

In addition to the greater inertia and lethargy of the response to the introduction and weakening of quarantine measures, the Russians themselves spoiled the dynamics of «k₂₄» with a heady celebration of a long spring weekend on May 1-3. These are 112–115 days on the t_е? scale, and we see that the fall of «k₂₄» these days changed to growth, giving a loss of the order of 0.05, which is a lot for «k₂₄».

As a result, after serving the same 6 weeks in strict quarantine as the Germans and most other countries, the Russians completely failed to achieve two main goals of quarantine:

● they didn’t use time to reduce «k₂₄» to values at least of the order of 0.02÷0.03;

● and did not hold out at these values for at least two (or rather three) weeks in order to reduce the number of infected people in the country by about an order of magnitude.

As a result, as we are stunned to see in the upper right graph, quarantine weakening was announced in Russia not at the foot of N_i cliff after passing the peak and not even at the peak, but a week before coming to the peak!

I understand that quarantine kills the economy, oppresses the psyche, and so on, and so on. The issue is very difficult, complex, and most Russians were probably happy about the weakening of quarantine measures on May 11. But they didn’t see my schedules, whereas the one who makes the decisions did, and what he saw weren't my homemade products of a man who, in his old age, delving into a completely new field, but much more accurate and professional accounts and forecasts of the best specialists in proper fields.

Be that as it may, from a medical point of view, the decision was simply criminal. The dynamics of the «k₂₄» fall established on the eve of May 11 clearly showed that in a week, if not sooner, it would reach the same minimum that the Germans quickly reached. Yet, then at least two weeks to hold on to this minimum – and the number of infected would fall by an order of magnitude. The epidemic would be broken.

Но у истории нет сослагательного наклонения. Мы вошли в фазу либерального карантина при «k₂₄» ≈ 0,06. Хорошо это или плохо? Для долгих участков с «k₂₄» ≈ const, как говорилось в теоретической части, критическим уровнем, при котором падение сменяется ростом эпидемии, является «k₂₄» ≈ 1/(t_t – 1). При принятом у меня t_t = 17 это 0,0625. Примерное плато «k₂₄» на дату моих расчётов длилось 8 дней: ещё недостаточно, чтобы покрыть нужный 19-дневный интервал, но на пути к этому.

Впрочем, правый верхний график сигнализирует, что можно не ждать математически корректных сроков наблюдения. Число инфицированных в те заключительные дни, для которых я имел данные, практически перестало снижаться и замерло на отметке 150 тысяч человек. Я и не удивлён, ведь среднее 8-дневное значение «k₂₄» на плато в конце графика равно 0,05848, то есть меньше 0,0625 всего на 0,004. При том, что уровень случайного «шума» для «k₂₄» мы оценивали выше как ±0,004!

But history has no subjunctive mood. We entered the liberal quarantine phase at «k₂₄» ≈ 0.06. Is this good or bad? For long periods with «k₂₄» ≈ const, as was stated in the theoretical part, the critical level at which the fall is replaced by an increase in the epidemic is «k₂₄» ≈ 1/(t_t – 1). With my accepted t_t = 17 it is 0.0625. The approximate plateau of «k₂₄» on the date of my calculations lasted for 8 days: it’s still not enough to cover the required 19-day interval, but on the way to it.

However, the upper right graph signals that we may not wait for mathematically correct observation periods. The number of infected in those final days for which I had data practically stopped decreasing and froze at around 150 thousand people. I'm not surprised, because the average 8-day value of «k₂₄» at the plateau at the end of the chart is 0.05848, that is, less than 0.0625 by only 0.004. Despite the fact that the level of random “noise” for «k₂₄» was estimated above as ±0.004!

При таком поведении единственным правдоподобным продолжением представлялся сценарий сохранения «k₂₄» на том же уровне с наложением характерного по амплитуде статистического «шума». Это можно интерпретировать как то, что некоторый рост «k₂₄» за счёт прогрессирующего ослабления карантинных режимов в разных регионах России будет компенсироваться бонусными факторами, которых нет в этой математической модели: ослаблением вируса в результате его мутаций; накоплением общественного иммунитета в лице переболевших; улучшением медицинских возможностей борьбы с вирусом, и т. п.

Амплитуду «шума» я принял равной ±0,00005, это почти на порядок меньше, чем на аналогичном немецком графике выше, но (не знаю, почему) российский график в районе плато «k₂₄» реально демонстрирует примерно такой случайный разброс. Впрочем, уменьшение и увеличение амплитуды «шума» вдвое не оказывало заметного влияния на динамику эпидемии. Однако выбор способа внесения «шума» был не столь очевиден. Можно было, во-первых, варьировать «k₂₄» всё время вокруг твёрдо заданного вначале значения («k₂₄» = 0,05848: среднее из 8 последних данных, образующих плато на графике). Недостатком при этом выглядела слишком ровная линия тренда «k₂₄», контрастирующая с профилем графика в области имеющихся данных.

Альтернативой было варьирование «шума» вокруг среднеарифметического из пяти предыдущих значений «k₂₄». Так график становился более реалистичным, но ценой введения в него некоей инерционной связи последующих величин с предыдущими. В природе изменчивости «k₂₄», вероятно, есть некая связь с прошлым. Распространение инфекции сильно связано с текущим стереотипом социального поведения, а на те аспекты поведения, которые инфекционно значимы, влияет эпидемическая ситуация ближайшего прошлого. Однако адекватно ли имитирует эту связь простое усреднение прошлых значений? Этого я не знаю.

Оставляю вам решать, какая техника «зашумления» лучше. Вначале представляю пример расчёта по первому варианту «зашумления». Множить примеры нет смысла, так как различия профилей в разных прогонах не превышали нескольких пикселей. На графиках «k₂₄» интервал моделирования отмечен голубым фоном, и время дано в днях,а на графиках текущего числа инфицированных N_i и итогового количества инфицированных с начала эпидемии C время дано в годах:

With this behavior, the only plausible continuation was the scenario of maintaining «k₂₄» at the same level with superimposing a statistical “noise” characteristic in amplitude. This can be interpreted as the fact that some growth of «k₂₄» due to the progressive weakening of quarantine regimes in different regions of Russia will be compensated by bonus factors that are not in this mathematical model: weakening of the virus as a result of its mutations; the accumulation of public immunity as the number of recovered is growing; improving the medical ability to fight the virus, etc.

I took the amplitude of the “noise” equal to ±0.00005, this is almost an order of magnitude smaller than on the similar German chart above, but (I don’t know why) the Russian chart in the area of the «k₂₄» plateau really shows about such a random spread. Though, both a halving and a doubling of the amplitude of “noise” did not have a noticeable effect on the dynamics of the epidemic. However, the choice of the method of introducing "noise" was not so obvious. It was possible, firstly, to vary «k₂₄» all the time around the value firmly set at the beginning («k₂₄» = 0.05848: average of the last 8 data forming a plateau on the graph). The flaw in this case seemed too flat trend line of «k₂₄», contrasting with the profile of the chart in the area of available data.

An alternative was the variation of “noise” around the arithmetic mean of the five previous values of «k₂₄». So the graph looked more realicstic, but at the cost of introducing into it some inertial connection of subsequent values with previous ones. In the nature of «k₂₄» variability, there is probably some connection with the past. The spread of infection is strongly related to the current stereotype of social behavior, and those aspects of behavior that have infectious importance are influenced by the epidemic situation of the near past. However, does a simple averaging of past values adequately mimic this connection? I do not know this.

I leave you to decide which “noisy” technique is better. First, I present an example of calculation according to the first “noise” option. Multiplying examples makes no sense, since the differences in the profiles in different runs did not exceed several pixels. On the «k₂₄» graphs, time is given in days, and the simulation interval is indicated by a blue background, and on the graphs of the current number of infected N_i and the total number of infected since the beginning of epidemic C, in years:

В этих вариантах число инфицированных в России за 15 лет примерно экспоненциально снижается до уровня порядка 8 тыс. человек, и за это время инфицируются порядка 16 млн. человек (половина из них – примерно в первые 3,5 года). При той статистической летальности, которую даёт сейчас российская статистика COVID-19 (порядка 2%), за 16 лет погибает непосредственно от COVID-19 порядка 320 тыс. чел., а от спровоцированных им причин ещё примерно в 1,5÷2 раза больше.

Очевидно, что это очень примитивный линейный прогноз, которому не суждено сбыться по политическим, биологическим и даже математическим причинам, но он показывает, как не надо бороться с коронавирусом.

Ещё он позволяет оценить пороговую величину «k₂₄», отделяющую область роста эпидемии от области убыли. Дело в том, что экспоненциальное приближение и вытекающая из него формула для оценки «k₂₄» через t_t – это всё-таки приближения. Истинная динамика эпидемии сложнее, она как бы помнит всё с самого первого инфицированного, и истинное пороговое значение нужно получать численным экспериментом, поставленным на базе данных конкретной страны с конкретной историей развития эпидемии.

Такой эксперимент я проделал, и оказалось, что пороговое значение «k₂₄» для российской эпидемии, увы, заметно меньше, чем 1/16. Оно равно 0,05883, и уровень плато «k₂₄», где Россия сейчас, когда я делаю вычисления, обживается в фазе смягчённого карантина, всего на 0,00035 ниже этого предела. Отсюда и долгие годы эпидемии, и многие миллионы заразившихся. Ведь в среднем 18% значений «k₂₄», более чем каждое шестое, за счёт «шума» будут оказываться в зоне роста эпидемии, над красной чертой на правом графике «k₂₄» выше.

In these scenarios, the number of people infected in Russia over the course of 15 years decreases approximately exponentially to about 8 thousand people, and about 16 million people become infected during this time (half of them in about the first 3.5 years). Despite the statistical mortality that the Russian statistics of COVID-19 now gives (about 2%), about 320,000 people die from COVID-19 directly over 16 years, and about 1.5–2 times more from the causes provoked by it.

Obviously, this is a very primitive linear forecast, which is not destined to come true for political, biological and even mathematical reasons, but it shows how you should not fight against coronavirus.

It also allows us to estimate the threshold value of «k₂₄», which separates the region of epidemic growth from the region of decline. The fact is that the exponential approximation and the resulting formula for estimating «k₂₄» by t_t are still approximations. The true dynamics of the epidemic is more complicated, it seems to "remember" everything from the very first infected person, and the true threshold value must be obtained by a numerical experiment, put on the basis of a specific country with a specific history of the epidemic.

I did such an experiment, and it turned out that the threshold value of «k₂₄» for the Russian epidemic, alas, is noticeably less than 1/16. It is equal to 0.05883, and the level of the «k₂₄» plateau, where Russia, when I do the calculations, settles in the softened quarantine phase, is only 0.00035 below this limit. Hence the long years of the epidemic, and many millions infected. Indeed, on average 18% of the «k₂₄» values, more than every sixth, due to the “noise” will appear in the epidemic growth zone, above the red line on the right «k₂₄» graph above.

Но это оказалось ещё цветочками, а ягодки ждали во втором варианте «зашумления» (который я склонен считать более реалистичным). Там обнаружился классический «эффект бабочки», когда случайный «шум» «k₂₄» меняет картину эпидемии от падения до роста в широчайших пределах.

Тогда я внёс ограничение, чтобы величина «k₂₄» до наложения «шума» не превышала некоторого предела. Это можно интерпретировать, как возвращение к строгому карантину при плохой эпидемической динамике. С ограничением оказалось в принципе возможно хотя бы удерживать число инфицированных от резкого роста, а в большинстве прогонов даже наблюдалось затухание эпидемии. Однако это достигалось лишь при исключительно точном контроле. Например, если пороговым значением «k₂₄», выше которого ужесточался карантин, было 0,06, то «эффект бабочки» сохранялся. А если предел сдвинуть до 0,059, то сценарии с опасным ростом N_i пропадали. Вот несколько примеров для предела 0,059:

But it turned out to be still flowers, and the berries were waiting in the second version of “noisy” technique (which I tend to consider more realistic). The classic “butterfly effect” was discovered there, when the random “noise” of «k₂₄» changes the picture of the epidemic from falling to growing within most wide limits.

Then I made a restriction so that the value of «k₂₄» before imposing a "noise" did not exceed a certain limit. This can be interpreted as a return to strict quarantine with poor epidemic dynamics. With the restriction, it was in principle possible to at least keep the number of infected from a sharp increase, and in most runs even an epidemic attenuation was observed. However, this was achieved only with extremely accurate control. For example, if the threshold value of «k₂₄», above which the quarantine was tightened, was 0.06, then the “butterfly effect” persisted. And if the limit is shifted to 0.059, then the scenarios with dangerous growth of N_i disappear. Here are some examples for the 0.059 limit:

Сами эти графики не имеют никакого прогностического значения, главное в них то, что они показали: данная модель предсказывает долгое течение эпидемии и охват инфекцией миллионных количеств людей.

Даже одного из этих обстоятельств хватило бы, чтобы забраковать модель. При долгом течении эпидемии становятся заметными факторами мутационное ослабление вируса, рост возможностей медицины и опыт пресечения путей передачи инфекции. Всё это дополнительно снижает число суточных передач инфекции. Поскольку эти факторы действуют накопительно, представляется правдоподобным описать их некоторой экспонентой от времени.

А охват заметной доли населения означает необходимость учитывать в модели коллективный иммунитет. Это также снижает число суточных передач инфекции. Правдоподобным кажется, что для учёта этого фактора динамику передач инфекции нужно умножать на долю тех, кто восприимчив к инфекции.

Пока что, правда, нет ясности, каково число восприимчивых. Одни полагают, что это практически всё население, а другие говорят, что лишь около 20% населения. Неясно и качество приобретаемого иммунитета. Одни верят, что он будет устойчив в течение нескольких лет, а то и пожизненно; другие ожидают, что его хватит только на год; есть и такие пессимисты, которые говорят, что полного иммунитета от COVID-19 нет вовсе, а в лучшем случае человек при повторном заражении будет болеть легче, чем в первый раз. И, наконец, не исключено, что всё очень индивидуально, и у разных людей реализуются все названные варианты.

Но тем и хорошо математическое моделирование, что неизвестные численные параметры можно обозначить подходящими буквами и перепробовать весь возможный диапазон их значений. Итак, наше предыдущее базовое уравнение динамики эпидемии

These graphs themselves do not have any prognostic value, the main thing in them is what they showed: this model predicts a long course of the epidemic and the infection coverage of millions of people.

Even one of these circumstances would be enough to reject the model. With a long course of the epidemic, mutational attenuation of the virus, the growing potential of medicine and the experience of suppressing the transmission of infection become noticeable factors. All this additionally reduces the number of daily transmission of infection. Since these factors act cumulatively, it seems plausible to describe them with some exponential in time.

And coverage of a significant share of the population means the need to take into account collective immunity in the model. It also reduces the daily transmission of infection. It seems plausible that in order to take this factor into account, the dynamics of transmission of infection must be multiplied by the proportion of those who are susceptible to the infection.

So far, however, there is no clarity about the number of susceptibles. Some believe that this is almost the entire population, while others say that only about 20% of the population. The quality of acquired immunity is also unclear. Some believe that it will be stable for several years, or even for life; others expect it to last only a year; there are also pessimists who say that there is no complete immunity from COVID-19 at all, and in the best case a person will get sick with repeated infection more easily than the first time. And finally, it is possible that everything is very individual, and different people implement all of these options.

But mathematical modeling is good because you can denote the unknown numerical parameters by appropriate letters and try the entire possible range of their values. So, our previous basic equation of the dynamics of the epidemic

дополняется после коэффициента «k₂₄» двумя множителями, учитывающими естественное ослабление вирулентности SARS-CoV-2 со временем и накопление коллективного иммунитета:

is supplemented after the coefficient «k₂₄» by two factors that take into account the natural weakening of the virulence of SARS-CoV-2 over time and the accumulation of collective immunity:

где b – коэффициент, совокупно учитывающий и мутации, и медицину, и карантинный опыт и т. д. (чем больше b, тем быстрее будет ослабляться вирулентность SARS-CoV-2), а P – общее число людей, восприимчивых к SARS-CoV-2 (от полной численности населения до некоторой его доли).

Правда, в таком виде уравнение подразумевает у перенесших инфекцию возникновение пожизненного иммунитета. Если же иммунитет в среднем сохраняется лишь в течение T дней после инфицирования, то уравнение нужно ещё немного усложнить:

where b is a coefficient that takes into account mutations, medicine, quarantine experience, etc. (the more b, the faster the virulence of SARS-CoV-2 will weaken), and P is the total number of people susceptible to SARS-CoV-2 (from the total population to a certain percentage).

However, in this form, the equation implies the emergence of lifelong immunity in those who have come through the infection. If immunity is maintained on average only for T days after being infected, then the equation needs to be a little more complicated:

В каких пределах может находиться b? Разберём три фактора, которые могут увеличивать этот коэффициент.

● Мутации вируса. Предыдущие коронавирусы сошли со сцены практически сами собой, и вначале были надежды, что это семейство мутирует (и, соответственно, теряет либо заразность, либо патогенность, либо то и другое сразу) довольно быстро. Однако у SARS-CoV-2 оказался собственный механизм ремонта повреждений цепочки РНК при репликации. По-видимому, на высокую скорость его мутационного ослабления рассчитывать не приходится.

● Лекарства. Официальная позиция ВОЗ такова, что пока всё неясно. Производители препаратов уверяют нас, что ими уже открыто То, Что Нужно. Независимые эксперты усмехаются и советуют запастись терпением. СМИ периодически приносят нам всё новые магические слова: Авифавир! Мефлохин! Азитромицин! Pемдесивир! Эх, к ним бы ещё добрую палочку от мистера Олливандера...

● Карантинный опыт. Пандемия ширится уже полгода. Вначале мир явно был плохо к ней готов, но сейчас всюду накоплено достаточно опыта. Я не думаю, что на этом пути есть ещё большой простор для совершенствования. Впрочем, нельзя исключать надежду, что будут разработаны какие-то новые меры, направленние на изоляцию кластерных цепочек передачи инфекции. Эффективность таких гипотетических мер может, в принципе, быть весьма высокой. Но это по своей природе, скорее, не фактор, который постоянно ослабляет динамику эпидемии, а разовый качественный скачок. Его уместнее учесть соразмерным (и локализованным во времени, а не перманентным) изменением «k₂₄».

В итоге, я бы оценил вероятные темпы ослабления передачи вируса SARS-CoV-2 величиной порядка нескольких процентов в год, вряд ли более 10%. Исходя из этого, вероятный диапазон b ≈ 0÷0,0003 суток^–1.

Величина P, как уже говорилось, может составлять, по разным оценкам, от 20% до 100% популяции. Здесь надо ясно определиться с терминологией. Наша формула учитывает тех, кто передаёт вирус, то есть и бессимптомников тоже. И я сильно подозреваю, что когда говорят о такой-то доле невосприимчивых к вирусу SARS-CoV-2, то имеют в виду именно бессимптомников, а не какую-то счастливую прослойку, у кого вирус, попав в организм, погибает, не получая шансов выйти наружу.

Если так, то нам правильнее считать восприимчивыми (= способными быть передатчиками вируса) все 100% населения, то есть принимать для России P ≈ 146 миллионов человек. Но если вдруг окажется, что такая счастливая прослойка вирусоборцев действительно есть, тогда P надо будет уменьшить на их оценочную численность.

А если некий будущий препарат сможет превращать человека в вирусоборца (шанс есть!), то формула вовсе не понадобится, потому что тут эпидемии придёт быстрый фармакологический конец.

Если же появится препарат или методика лечения, позволяющая эффективно сокращать среднее время болезни, то можно надеяться, что будет сокращаться ещё и величина t_t. Причём в результате этого уменьшение скорости передач инфекции (фактически, именно ею является величина Δ_i) может измеряться не процентами, а десятками процентов. (По техническим соображениям, однако, удобнее не менять t_t, а ввести в модель какое-то соразмерное уменьшение «k₂₄» со временем, и лучше локализованное, чем перманентное, как и в случае с изоляцией кластерных цепочек.)

What limits can b be in? Let us examine three factors that can increase this coefficient.

● Mutations of the virus. Previous coronaviruses left the stage almost by themselves, and at first there were hopes that this family mutates (and, accordingly, loses either infectivity, or pathogenicity, or both at once) rather quickly. However, it seemed, SARS-CoV-2 has its own mechanism for repairing damage to the RNA chain during replication. Apparently, one cannot count on the high rate of its mutational attenuation.

● Medication. The official position of WHO is such that so far everything is unclear. Manufacturers of drugs assure us that they have already discovered What Is Needed. Independent experts grin and advise you to be patient. The media periodically bring us all new magic words: Avifavir! Meflohin! Azithromycin! Remdesivir! Eh, I’d like to add a good wand from Mr. Ollivander to them...

● Quarantine experience. The pandemic has been expanding for six months now. At first, the world was clearly not ready for it, but now enough experience has been accumulated everywhere. I do not think that there is still much room for improvement on this path. However, we cannot exclude the hope that some new measures will be developed aimed at isolating the cluster chains of transmission of infection. The effectiveness of such hypothetical measures can, in principle, be very high. But this by nature, rather, is not a factor that constantly weakens the dynamics of the epidemic, but a one-time qualitative leap. It is more appropriate to imitate it with a proportional (and localized in time, rather than permanent) change of «k₂₄».

As a result, I would estimate the probable rate of attenuation of SARS-CoV-2 virus transmission of the order of a few percent per year, hardly more than 10%. Based on this, the probable range is b ≈ 0÷0.0003 days^–1.

The value of P, as already mentioned, can be, according to various estimates, from 20% to 100% of the population. Here it is necessary to clearly define the terminology. Our formula takes into account those who transmit the virus, that is, asymptomatic, too. And I strongly suspect that when they talk about such and such a proportion of those who are immune to the SARS-CoV-2 virus, they mean precisely the asymptomatic people, and not some kind of happy layer of those, in whom the virus, when it enters the body, dies without any chance go outside.

If so, then it is more correct for us to consider as susceptible (= capable of transmitting the virus) all 100% of the population, that is, accept for Russia P ≈ 146 million people. But if it suddenly turns out that such a happy layer of virus fighters really exists, then P will need to be reduced by their estimated number.

And if some future drug will be able to turn a person into a virus fighter (there is a chance!), then the formula will not be needed at all, because here the epidemic will come to a quick pharmacological end.

If a drug or treatment technique appears that allows us to effectively reduce the average time of the disease, then we can hope that the value of t_t will also decrease. Moreover, as a result of this, the decrease in the rate of transmission of infection (in fact, it is the Δ_i value) can be measured not in percent, but in tens of percent. (For technical reasons, however, it is more convenient not to change t_t, but to introduce into the model some commensurate decrease in «k₂₄» with time, and better localized than permanent, as in the case of isolation of cluster chains.)

С такими предпосылками я приступил к прогнозам. Начав с наихудшего варианта, при котором иммунитет сохранялся лишь в течение года, а ослабление вируса шло с темпом всего 1% в год, я получил результат, не намного отличающийся от последней серии картинок.

Эпидемия, при ограничении «k₂₄» < 0,059, всегда заканчивается за несколько лет, останавливаясь на уровне нескольких десятков или сотен инфицированных, а в первые два года число инфицированных падает до тысяч или десятков тысяч. За всё время эпидемии инфицируется от 1,9 до 4,5 млн. человек, в среднем 3,4 млн.

Я сделал 200 циклов вычислений, чтобы найти распределение вероятности этого важного показателя*, и получил график p(C) с двумя фокусами: чаще всего C оказывалось близко к 3,6 млн. человек, но некоторое повышение вероятности наблюдалось и в окрестностях C ≈ 2,7÷2,8 млн. человек (см. график ниже, после трёх примеров динамики эпидемии для этой группы сценариев):

With such assumptions, I proceeded to predictions. Starting with the worst case scenario, in which immunity lasted only for a year, and the virus weakened at a rate of only 1% per year, I got a result that is not much different from the last series of pictures.

The epidemic, with the limitation of «k₂₄» < 0.059, always ends in a few years, stopping at the level of several tens or hundreds of infected people, and in the first two years the number of infected people drops to thousands or tens of thousands. For the entire time of the epidemic, from 1.9 to 4.5 million people are infected, an average of 3.4 million.

I did 200 cycles of calculations to find the probability distribution of this important indicator*, and I got a p(C) graph with two focuses: most often C turned out to be close to 3.6 million people, but some increase in probability was also observed in the vicinity of C ≈ 2,7÷2.8 million people (see the chart below, after three examples of the epidemic dynamics for this group of scenarios):

_______

* Плотность вероятности p(C_i) показывает, как часто при расчёте сценариев будут попадаться те, у которых конечное общее число инфицированных C будет оказываться в     окрестностях     того     или     иного     C_i.     Теоретически p(C_i) = (dS/S)/dC, где S – число моделирований по какому-то сценарию (в теории оно должно стремиться к бесконечности), а dS – число сценариев, у которых C уложилось в интервал dC (в теории он должен стремиться к нулю) вокруг C_i.

В математике есть наработанные методы статистического анализа подобных серий значений изменчивой величины. Не вдаваясь в технические подробности, скажу, что ни один из классических щаблонов не сработал. Функция p(C_i) для результата эпидемии оказалась своеобразной, из классических к ней ближе всего было гамма-распределение, но и оно не подошло. Поэтому я оценивал p(C) чисто эмпирически, дробью p(C_i) ≈ (ΔS/S)/ΔC, где S – число моделирований, ΔS – число сценариев, у которых C уложилось в интервал ΔC вокруг C_i (интервал приходилось выбирать обдуманно, исходя из набора величин C в реализованных сценариях: чем меньше ΔC, тем точнее мы фиксируем взгляд исследователя на оси C, но зато и ΔS становится меньше, а это расфокусирует взгляд исследователя на оси p(C), так что нужно выбирать золотую середину).

Там, где я указываю ниже величины p(C_i), они показывают долю сценариев, приводящих в конце эпидемии к C = C_i ± 0,5 млн. человек, и имеют размерность (млн. человек)^–1.

_______

* The probability density p(C_i) shows how often, when calculating the scenarios, those with a finite total number of infected C will appear in the vicinity of one or another C_i. Theoretically, p(C_i) = (dS/S)/dC, where S is the number of simulations according to some scenario (in theory, it should tend to infinity), and dS is the number of scenarios in which C fit into the interval dC (in theory, it should tend to zero) around C_i.

In mathematics, there are proven methods for statistical analysis of such series of values of variable quantity. Without going into technical details, I will say that none of the classic templates worked. The p(C_i) function for the result of the epidemic turned out to be peculiar; of the classical ones, the gamma distribution was closest to it, but it did not fit either. Therefore, I evaluated >p(C) purely empirically, by the fraction p(C_i) ≈ (ΔS/S)/ΔC, where S is the number of simulations, ΔS is the number of scenarios for which C fit into the interval ΔC around C_i (the interval should be chosen judiciously, based on the set of values of C in the implemented scenarios: the smaller ΔC, the more accurately we fix the researcher’s gaze on the C axis, but ΔS also becomes smaller, and this will defocus the gaze of the researcher on the p(C) axis, so you need to choose a middle ground).

Where I indicate p(C_i) below, it shows the proportion of scenarios leading to C = C_i ± 0.5 million people at the end of the epidemic and has a dimension (million people)^–1.

Распределение вероятности p(C), для t = 10 лет.

Ось C (млн. человек) разбивалась на интервалы шириной 0,25, 0,30 и 0,35 млн. человек, число сценариев, попавших в интервал, давало оценку p(C) для точки C в середине интервала: зелёные ромбы – для интервалов 0,25 млн. человек, красные – для интервалов 0,3 млн. человек, коричневые – для интервалов 0,35 млн. человек, голубая линия усредняет ромбы всех цветов.

Probability distribution
p(C), for t = 10 years.

The C axis (million people) was divided into 0.25, 0.30, and 0.35 million people wide intervals, the number of scenarios falling into the interval gave an estimate of p(C) for point C in the middle of the interval: green rhombs for the intervals 0.25 million people, red – for the intervals 0.3 million people, brown – for the intervals 0.35 million people, the blue line averages out rhombs of all colors.

Синими линиями показаны среднее значение ‹C›, не совпадающее с максимумом кривой p(C), а влево и вправо от него отложены величины средних отклонений ‹ΔC› (в статистике их обычно называют σ). Видно, что за пределами области ‹C›±‹ΔC› и в сторону меньших величин C (зелёный фон на графике) и в сторону больших величин (красный фон) лежит примерно поровну случаев, 41 «зелёный» и 34 «красных» из 200. (Число случаев выпадения C в каком-то интервале равно площади под кривой p(C) на этом интервале, т. е. визуально надо сравнивать площади фоновых участков.)

Blue lines indicate the average value of ‹C›, which does not coincide with the maximum of the p(C) curve, and the mean deviations ‹ΔC› (in statistics they are usually called σ) are plotted to the left and to the right of it. It can be seen that outside the region ‹C›±‹ΔC› both towards lower values of C (green background on the graph) and towards higher values (red background) there are approximately equal cases, 41 are “green” and 34 are “red” out of 200. (The number of cases of C falling in a certain interval is equal to the area under the p(C) curve in this interval, that is, visually it is necessary to compare the areas of the backgrounded sections.)

Неплохим плюсом оказалось то, что в данных сценариях можно было повысить контрольный уровень «k_24(max)» на 0,05, это достаточно много и соответствует значительной либерализации карантинных мер. Правда, чем выше мы установим предел для «k₂₄», тем больше станет C в конце эпидемии. Для «k_24(max)» = 0.064 среднее значение C ≈ 7,2 млн. человек, т. е. либерализация карантина на +0,05 в величине «k₂₄» стоит в среднем добавочных 3,8 млн. человек инфицированных, это более чем удвоение.

Иногда цена либерализации может быть ещё в разы   выше.   Дело   в   том,   что   при повышении «k_24(max)» растёт не только величина C, но и интервал разброса этой величины. В 200 сценариях при «k_24(max)» = 0,059 разброс C был от 1,9   до   4,5 млн. человек,   а   в   100   сценариях при «k_24(max)» = 0,064 разброс C оказался от 2,2 до 32,7 млн. человек.

В статистике разброс (так сказать, масштаб «эффекта бабочки») обычно характеризуют средним отклонением от среднего значения, ‹ΔC›, и оно в 100 циклах с «k_24(max)» = 0,064 оказалось очень большим: ‹ΔC› = 6,2 млн. человек. В 200 циклах с «k_24(max)» = 0,059 оно было всего ‹ΔC› = 0,6 млн. человек, т. е. непредсказуемость результата расчёта при переходе к «k_24(max)» = 0,064 вырастает на порядок!

Вероятности выпадения C > 10 млн. человек убывали примерно гиперболически: из 100 сценариев в интервалы C = 10÷15, 15÷20, 20÷25, 25÷30 и 30÷35 млн. человек попали, соответственно, 7, 5, 3, 2 и 1 сценарий. Это медленное падение вероятности обещает, что сценарии с широким распространением эпидемии при таком выборе параметров модели не будут исчезающе редки.

В реальности, конечно, если выпадет такой неудачный сценарий, правительство вряд ли будет пассивно наблюдать за ростом эпидемии. Достаточно срочно усилить карантинные меры, чтобы «k₂₄» снизился, и эпидемия снова пошла на убыль. А математика говорит для заданных карантинных условий, каков шанс, что эпидемию удастся победить при таком-то числе инфицированных. Например, для «k_24(max)» = 0,064 шанс победить с С ≤ 5 млн. человек – около 50%, с С ≤ 4 млн. человек – около 36%, с С ≤ 3 млн. человек – около 15%, и т. д. В остальных случаях «эффект бабочки» сыграет против нас и заставит ужесточать карантин.

Диаграммы я не привожу, качественно они похожи на предыдущие, отличаясь лишь более высокими величинами N_i и C на осях.

It turned out to be a good plus that in these scenarios it was possible to increase the control level of «k_24(max)» by 0.05, which is quite a lot and corresponds to a significant liberalization of quarantine measures. However, the higher we set the limit for «k₂₄», the more C   will   become   at   the   end   of   the   epidemic.   For «k_24(max)» = 0.064, the average value of C ≈ 7.2 million people, that is, quarantine liberalization of +0.05 in the value of «k₂₄» costs an average of an additional 3.8 million people infected, which is more than doubling.

Sometimes the price of liberalization can be many times   higher.   The   fact   is   that with an increase in «k_24(max)» not only the value of C increases, but also the range of variation of this value. In 200 scenarios with «k_24(max)» = 0.059, the spread of C was from 1.9 to 4.5 million people, and in 100 scenarios with «k_24(max)» = 0.064, the spread of C was from 2.2 to 32.7 million people.

In statistics, the spread (the scale of the “butterfly effect”, so to speak) is usually characterized by the average deviation from the mean, ‹ΔC›, and it turned out to be very large in 100 cycles with «k_24(max)» = 0.064: ‹ΔC› = 6.2 million   people.   In   200   cycles   with «k_24(max)» = 0.059 it was only ‹ΔC› = 0.6 million people, that is, the unpredictability of the calculation result when switching to «k_24(max)» = 0.064 grows by an order of magnitude!

The probability of falling C > 10 million people decreased approximately hyperbolic: from 100 scenarios, the intervals C = 10÷15, 15÷20, 20÷25, 25÷30 and 30÷35 million people fell, respectively, 7, 5, 3, 2 and 1 scenario. This slow drop in probability promises that scenarios with a widespread epidemic with this choice of model parameters will not be vanishingly rare.

In reality, of course, if such an unfortunate scenario occurs, the government is unlikely to passively observe the growth of the epidemic. It is enough to urgently strengthen quarantine measures so that «k₂₄» decreases and the epidemic waned again. And mathematics says for given quarantine conditions, what is the chance that the epidemic will be able to be defeated with such a number of infected people. For example, for «k_24(max)» = 0.064, the chance to win with C ≤ 5 million people is about 50%, with C ≤ 4 million people about 36%, with C ≤ 3 million people about 15%, etc. And in the remaining cases, the “butterfly effect” will play against us and force us to tighten quarantine.

I do not give diagrams, they are qualitatively similar to the previous ones, differing only in higher values of N_i and C on the axes.

При допущении, что иммунитет сохраняется навечно, сценарии стали заметно лучше. В 160 сценариях среднее значение C в конце эпидемии составило около 4,4 млн. человек (в 1,6 раза меньше, чем при годичном сохранении иммунитета), а разброс C оказался от 2,0 до 12,4 млн. человек (втрое меньше). Падение вероятности в сторону C > 3,4 млн. человек происходило примерно экспоненциально.

Assuming immunity lasts forever, the scenarios are noticeably better. In 160 scenarios, the average C value at the end of the epidemic was about 4.4 million people (1.6 times less than with a year-long immunity), and the spread of C was from 2.0 to 12.4 million people (three times less). The decrease in probability in the direction of C > 3.4 million people was nearly exponential.

Плотность вероятности выпадения сценариев с тем или иным конечным значением C приближается к своему истинному профилю довольно медленно и явно требует многих тысяч циклов. При разбиении 160 циклов сценариев на две группы по 80 сценариев, профили p(C) в них заметно отличались. На рис. справа они показаны синим и зелёным цветом, а профиль p(C) для всех 160 сценариев – красным цветом.

The probability density of occurrence of scenarios with one or another final value of C approaches its true profile rather slowly and obviously requires many thousands of cycles. When splitting 160 cycles of scenarios into two groups of 80 scenarios, the p(C) profiles in them significantly differed. In fig. on the left they are shown in blue and green, and the profile p(C) for all 160 scenarios is shown in red.

Как и на предыдущем графике p(C), синими линиями показаны среднее значение ‹C›, вновь не совпадающее с максимумом кривой p(C), а влево и вправо от него отложены величины средних отклонений ‹ΔC› (σ). В данном случае желательная для нас зона отклонений C в меньшую сторону от области ‹C›±‹ΔC› (зелёный фон) гораздо меньше нежелательной зоны отклонений в сторону больших величин (красный фон). Их соотношение составило в 160 циклах 4:70. (Ещё хуже соотношение красной и зелёной областей было в предыдущей группе сценариев с годичным иммунитетом, для которой я не стал приводить график p(C) ввиду малого числа просчитанных циклов: там «зелёных» не оказалось вовсе при 15 «красных» из 100 циклов.)

As in the previous p(C) graph, the blue lines indicate the average value of ‹C›, which again does not coincide with the maximum of the p(C) curve, and the mean deviations ‹ΔC› (σ) are plotted to the left and to the right of it. In this case, the desired deviation zone ‹C› to the smaller side from the region ‹C›±‹ΔC› (green background) is much smaller than the undesirable deviation zone towards larger values (red background). Their ratio amounted to 4:70 in 160 cycles. (The ratio of the red and green areas was even worse in the previous group of scenarios with one-year immunity, for which I did not give a graph of p(C) due to the small number of calculated cycles: there were no “green” ones at all with 15 “red” out of 100 cycles.)

Далее я моделировал сценарии, в которых ослабление вируса шло с темпом не 1%, а 5% в год, но иммунитет сохранялся всё ещё не долее года.

При этом основная фаза эпидемии оканчивалась в середине или конце второго года, число инфицированных за всё время эпидемии в 100 циклах расчётов колебалось от 1,8 до 5,4 млн. человек, в среднем 2,6 млн. человек (в 1,7 раза меньше, чем при 1%-ном годичном ослаблении вируса). Динамика N_i и C качественно не отличалась от предыдущих графиков. Пик на кривой p(C) был более острым и высоким, чем на предыдущем графике p(C). На порядок меньше стал и «эффект бабочки»: ‹ΔC› = 0,6 млн. человек. Соотношение «зелёных» и «красных» выходов за пределы ‹C›±‹ΔC› в ста циклах составило 4:9.

Next, I simulated scenarios in which the attenuation of the virus proceeded at a rate not of 1%, but 5% per year, yet the immunity still lasted for no more than a year.

In this case, the main phase of the epidemic ended in the middle or end of the second year, the number of infected during the entire epidemic in 100 calculation cycles ranged from 1.8 to 5.4 million people, an average of 2.6 million people (1.7 times less than with 1% annual attenuation of the virus). The dynamics of N_i and C did not qualitatively differ from previous graphs. The peak on the p(C) curve was sharper and higher than on the previous p(C) graph. The "butterfly effect" has also become an order of magnitude smaller: ‹ΔC› = 0.6 million people. The ratio of “green” and “red” outputs beyond ‹C›±‹ΔC› in a hundred cycles was 4:9.

Оказалось, что в этой группе сценариев можно отменить контроль за «k_24(max)». Очевидно, заданная скорость «самоослабления» эпидемии держит ситуацию в таких рамках, при которых случайные серии возрастаний «k₂₄» не могут поднять число инфицированных к многомиллионным отметкам. Такие серии достаточно длинных возрастаний (как, впрочем, и аналогичные серии убываний) «k₂₄» наблюдались в ходе 100 циклов моделирований регулярно. Но при этом «k₂₄», стартовавший на крыльях бабочек судьбы в 155-й день эпидемии с отметки 0,058, за 10 лет случайной (но привязанной к предыдущим значениям) эволюции не вышел из рамок 0,04÷0,08.

Среднее значение числа инфицированных за время эпидемии при снятии контроля за «k₂₄» осталось практически тем же, как и при наличии контроля, но довольно выгодно изменился характер разброса C. «Зелёная» область C < ‹C› – ‹ΔC› продлилась до 1,7 млн. человек (расширение на 0,1 млн. человек), а «красная» область C > ‹C› + ‹ΔC›, наоборот, сократилась до 4 млн. человек (сокращение на 1,4 млн. человек). За счёт последнего величина ‹ΔC› снизилась в 1,5 раза. Из 100 циклов расчётов и в «зелёную», и в «красную» зоны попали по 17, – а в сценариях с контролем за «k₂₄» счёт был 4:9 в пользу «красных».

It turned out that in this group of scenarios it is possible to cancel control over «k_24(max)». Obviously, the given rate of “self-weakening" of the epidemic keeps the situation within such a framework in which a random series of increases of «k₂₄» cannot raise the number of infected to multi-million marks. Such series of rather long increases (as, by the way, similar series of decreases) of «k₂₄» were observed during 100 cycles of simulations regularly. But at the same time, «k₂₄», which started on the wings of butterflies of fate on the 155th day of the epidemic from 0.058, did not go beyond 0.04–0.08 for 10 years of random (but tied to previous values) evolution.

The average number of infected during the epidemic when removing control over «k₂₄» remained almost the same as in the presence of control, but the nature of the scatter of C changed quite favorably. The “green” region C < ‹C› – ‹ΔC› continued to 1.7 million people (expansion by 0.1 million people), and the “red” region C > ‹C› + ‹ΔC›, on the contrary, decreased to 4 million people (a decrease of 1.4 million people). Due to the latter, the value of ‹ΔC› decreased by 1.5 times. Of the 100 cycles of calculations, both the “green” and “red” zones got 17 each, and in the scenarios with control over «k₂₄» the score was 4:9 in favor of the “red”.

Повышение темпов ослабления вируса до 10% в год не улучшило динамику эпидемии качественно. Я просчитывал и другие сценарии, но, по-видимому, описание новых и новых результатов и анализ их нюансов скорее перегрузит внимание читателей, чем даст им более широкое видение картины.

An increase in the rate of attenuation of the virus to 10% per year did not improve the dynamics of the epidemic qualitatively. I calculated some other scenarios, but, apparently, the description of new and new results and the analysis of their nuances would rather overload the readers' attention than give them a wider vision of the picture.

Общим у всех сценариев, развивающихся без революционного уменьшения «k₂₄», была неспособность преодолеть принципиальные минусы российского выхода из карантина (высокую, практически максимальную инфицированность общества и высокий же уровень заражаемости). Как ни подыгрывай самоослаблением вируса или накоплением иммунитета, но всё равно эпидемия длится более года, а то и двух, и поражает миллионы людей.

The common feature of all the scenarios that developed without a revolutionary reduction in «k₂₄» was the inability to overcome the fundamental disadvantages of the Russian quarantine exit (high, almost maximum infection rate in society and a high level of infection transmissivity). No matter how you play along with the weakening of the virus or the accumulation of immunity, but still the epidemic lasts more than a year, or even two, and affects millions of people.

А как понизить «k₂₄»? Все административные меры не помогли снизить его менее чем до ~0,05, и то всего на 1,5 недели, а при таком уровне нужен не 6-недельный, а 9-недельный карантин, чего, по-видимому, не выдержит ни экономика России, ни психика и кошельки россиян. Ввести что-то близкое к «расстрельным мерам», то есть сверхжёсткий (но зато не очень продолжительный, укладывающийся в 4÷6 недель) второй карантин, очевидно, нереально по политическим соображениям. (Или уже реально в путинской России?)

And how to lower the «k₂₄»? All administrative measures did not help reduce it to less than ~0.05, and only for 1.5 weeks, but at this level, not 6-week, but 9-week quarantine is needed, which, apparently, neither economy of Russia can withstand, nor the psyche and wallets of Russians. Introducing something close to “firing squad”, that is, super-strict (but not very long, lasting 4–6 weeks) second quarantine is obviously unrealistic for political reasons. (Or is it yet realistic in Putin's Russia?)

Остаётся уповать на лекарства, которые смогут сократить время заразности (и тем самым уменьшить в нашей модели «k₂₄», как выше объяснялось) и/или на продвинутые антикластерные карантинные технологии, которые тоже эффективно снизят «k₂₄» без большой нагрузки на экономику и психику людей.

Модель такого сценария будет до какого-то времени идентична ранее рассмотренным моделям, затем в день R стартует процесс подавления «k₂₄» (чем именно физически – для моделирования не очень важно), подавление пройдёт линейно и займёт 5 недель (оба эти параметра мы берём из опыта введения карантина в России), после чего «k₂₄» установится на некотором достигнутом минимуме «k_24(R)». Разумеется, уровень случайного «шума» на всех этих этапах не меняется.

It remains to rely on drugs that can reduce the time of infectiousness (and thereby reduce «k₂₄» in our model, as explained above) and/or on advanced anti-cluster quarantine technologies that will also effectively reduce «k₂₄» without a big burden on the economy and psyche of people.

For some time, the model of such a scenario will be identical to the previously considered models, then the «k₂₄» suppression process starts on day R (by which physical means, it is not very important for simulation), the suppression will develop linearly and will take 5 weeks (we take both of these parameters from experience of introducing quarantine in Russia), after which «k₂₄» will be established at some achieved minimum «k_24(R)». Of course, the level of random "noise" at all these stages does not change.

До дня R, как показало моделирование, эпидемия сокращается очень вяло, и к полумиллиону с лишним инфицированных, которых учла российская официальная статистика COVID-19 на дату моих расчётов, будет прибавляться по 200÷250 тысяч человек ежемесячно, а число активных переносчиков инфекции N_i будет медленно снижаться, оставаясь в пределах 100÷150 тысяч человек.

Зато после дня R эпидемия за считанные месяцы приходит к концу, добавляя за это время сравнительно немного (несколько сот тысяч человек) к ранее накопленному числу инфицированных.

Until day R, as the simulation showed, the epidemic is decreasing very sluggishly, and to more than half a million infected, which was registered by the Russian official statistics of COVID-19 at the date of my calculations, 200÷250 thousand people will be added every month, and the number of active carriers of infection N_i will be slowly decline, staying within 100÷150 thousand people.

But after day R, the epidemic in a matter of months comes to an end, adding during this time relatively few (several hundred thousand people) to the previously accumulated number of infected people.

Ниже описаны и показаны примеры сценариев, в которых день R наступает в России 12 августа. Это Международный день молодёжи, равно, впрочем, как и день взрыва первой советской термоядерной бомбы, день выпуска первого персонального компьютера IBM PC, и многого другого.

Начальные условия 12 августа примерно таковы: суммарное накопительное число инфицированных C вплотную приближается к 1 млн. человек, число активных переносчиков инфекции N_i ≈ 130 тысяч человек, число ежедневно регистрируемых новых инфекций Δ_i ≈ 7÷7,5 тысяч человек.

Если день R наступит раньше, новая динамика начнётся от худших начальных условий, и до конца эпидемии придётся идти несколько дольше и ценой несколько большего числа успевших получить инфекцию. Поэтому на окончательные цифры сроков и масштабов эпидемии сдвиг дня R повлияет не так заметно.

Главный фактор, влияющий на оба эти параметра, – это достигаемая через 5 недель после дня R радикально сниженная величина «k_24(R)». Левый график ниже показывает, как «k_24(R)» влияет на число инфекций, произошедших после дня R (оно обозначено С_R+ и выражено в млн. человек). Правый график показывает, сколько времени занимает после дня R достижение, так сказать, стратегической, решительной и полной победы над эпидемией:

● под стратегической победой понимается достижение уровня суточных инфекций Δ_i < 1 тысячи человек (синяя кривая t₁₀₀₀);

● под решительной победой – достижение активного числа инфекций N_i < 1000 человек по всей стране (зелёная пунктирная кривая t_1k);

● под полной победой – достижение активного числа инфекций N_i < 100 человек по всей стране (зелёная сплошная кривая t₁₀₀).

Поскольку снижение N_i в победной фазе эпидемии практически экспоненциальное, время достижения тысячи инфицированных в стране t_1k (время до решительной победы) при всех модельных «k_24(R)» было в ~1,39 раза меньше, чем время достижения ста инфицированных t₁₀₀ (время до полной победы).

Левая шкала (чёрная) показывает эти времена в днях, правая (розовая) – в месяцах, прошедших после дня R.

Below are described and shown examples of scenarios in which day R occurs in Russia on August 12. This is International Youth Day, as well as the day of the explosion of the first Soviet thermonuclear bomb, the launch day of the first personal computer, IBM PC, and much more.

The initial conditions on August 12 are approximately as follows: the total cumulative number of infected people C comes close to 1 million people, the number of active carriers of infection is N_i ≈ 130 thousand people, and the number of new infections detected daily is Δ_i ≈ 7÷7.5 thousand people.

If day R comes earlier, the new dynamics will start from the worst initial conditions, and until the end of the epidemic, we will have to go a little longer and at the cost of a few more of those who get the infection. Therefore, the final figures for the timing and scale of the epidemic will affect the shift in day R not very noticeably.

The main factor influencing both of these parameters is the radically reduced «k_24(R)» value achieved 5 weeks after day R. The left graph below shows how «k_24(R)» affects the number of infections that occurred after day R (it is indicated by С_R+ and expressed in million people). The right graph shows how long it takes after day R to achieve, so to speak, a strategic, decisive and complete victory over the epidemic:

● a strategic victory means reaching the level of daily infections Δ_i < 1 thousand people (blue curve t₁₀₀₀);

● a decisive victory means reaching an active number of infections N_i < 1000 people across the country (green dashed curve t_1k);

● a complete victory means reaching an active number of infections N_i < 100 people across the country (green solid curve t₁₀₀).

Since the decrease in N_i in the victorious phase of the epidemic is almost exponential, the time to reach a thousand infected people in the country t_1k (time to decisive victory) for all simulated «k_24(R)» was ~1.39 times less than the time to reach one hundred infected t₁₀₀ (time to complete victory).

The left scale (black) shows these times in days, the right one (pink) – in the months that have passed since day R.

Левый график показывает, что снижение «k_24(R)» ниже ~0,045 даёт всё меньший выигрыш в С_R+. Пунктиром показаны границы интервалов ‹С_R+›±‹ΔС_R+› (они примерно характеризуют масштаб «эффекта бабочки»). Расстояние по высоте от основной кривой до пунктирной, равное дисперсии ‹ΔС_R+›, составляло для малых «k_24(R)» порядка 6%, а для больших – порядка 8% величины ‹С_R+›.

Правый график также показывает, что в области «k_24(R)» ниже ~0,045 выигрыш во времени завершения эпидемии прогрессивно сокращается. На всём диапазоне «k_24(R)», показанном на графике, отношение времён полной и стратегической победы оказалось почти постоянным: t₁₀₀/t₁₀₀₀ ≈ 3. Дисперсия (мера случайного разброса) обоих времён была во всех случаях порядка ‹Δt› ≈ 3÷4%.

Динамика снижения числа разносчиков инфекции N_i в этих циклах моделирования состояла из череды экспонент, соединённых небольшими переходными периодами. Экспоненциальное убывание в логарифмическом масштабе N_i выглядит прямой линией, и на правом графике ниже пример для довольно умеренного «k_24(R)» = 0,045 демонстрирует преобладание именно линейных участков:

The left graph shows that a decrease in «k_24(R)» below ~0.045 gives an ever smaller gain in С_R+. The dotted line shows the boundaries of the intervals ‹С_R+›±‹ΔС_R+› (they approximately characterize the scale of the “butterfly effect”). The distance in height from the main curve to the dashed curve, equal to the dispersion ‹ΔС_R+›, was about 6% of ‹С_R+› for small «k_24(R)», and about 8% for large ones.

The right graph also shows that in the «k_24(R)» region below ~0.045, the gain in the time the epidemic ends is progressively decreasing. Over the entire range of «k_24(R)» shown on the graph, the ratio of the times of complete and strategic victory turned out to be almost constant: t₁₀₀/t₁₀₀₀ ≈ 3. The dispersion (measure of random spread) of both times was in all cases of the order of ‹Δt› ≈ 3÷4%.

The dynamics of the decrease in the number of carriers of infection N_i in these modeling cycles consisted of a series of exponentials connected by small transition periods. The exponential decrease on a logarithmic scale of N_i looks like a straight line, and on the right graph below the example for a fairly moderate «k_24(R)» = 0.045 demonstrates the predominance of linear sections:

Динамика изменения C и «k₂₄» в этом цикле моделирования показана на двух графиках ниже (для графика C ось времени, как и на двух предыдущих графиках, калибрована в годах, а для графика «k₂₄» – в днях):

The dynamics of C and «k₂₄» in this simulation cycle are shown in the two graphs below (for graph of C, the time axis, as in the previous two graphs, is calibrated in years, and for the graph of «k₂₄» – in days):

Волшебная палочка на этих графиках не должна восприниматься как сарказм, это символ мозгового штурма, принесшего R-победу, почти равную чуду. Лёгкая тень сарказма если тут и присутствует, то лишь относительно времени, когда такое чудо могло бы резко подстегнуть вялую послепиковую динамику российской эпидемии.

Впрочем, если научного чуда быстро не случится, у изобретательных менеджеров путинской системы наверняка есть целый арсенал замещающих трюков для доверчивой публики. Например, для победных рапортов о снижении суточных приростов инфицирований годится приём сокращения проводимых за сутки тестов на SARS-CoV-2. А если и это не поможет изобразить победу, в ход можно пустить банальные махинации с цифрами. Ведь кто же их проверит, вся информация идёт исключительно под контролем властей.

The magic wand on these graphs should not be perceived as sarcasm, it is a symbol of the brainstorming that brought the R-victory, almost equal to a miracle. A slight shadow of sarcasm, if present, is only relative to the time when such a miracle could sharply spur the sluggish post-peak dynamics of the Russian epidemic.

However, if a scientific miracle does not happen quickly, the inventive managers of the Putin system probably have a whole arsenal of substitute tricks for a gullible public. For example, for triumphant reports of a reduction in the daily increase in infections, a reduction in the tests conducted per day for SARS-CoV-2 is suitable. And if this does not help to portray victory, you can use trivial fraud with numbers. After all, who will check them, all the information goes exclusively under the control of the authorities.

А победы срочно нужны для обоснования безопасности двух великих путинских артефактов: парада во время чумы и конституционного плебисцита во время чумы. Их наш бравый президент поспешил назначить из своего убежища, едва успев полуослабить карантин (который в России официально никогда и не был карантином, а скользко, в духе кремлёвского новояза, именовался какими-то паллиативными неологизмами).

А ведь что требовалось? Ничего сверхъестественного:

● Мониторить очень простой параметр «k₂₄» или любой из его аналогов (математика моделирования эпидемий развивается с 1920-х годов, есть из чего выбрать!).

● Видя, что карантин проваливается, не обеспечивает должного падения «k₂₄», немедленно запускать во всех СМИ разъяснительную кампанию под простым лозугном: «Или изолируемся по-настоящему, но всего на месяц, или бравируем и саботируем, но тогда не ждите отмены карантина раньше чем через два месяца». Вообще, поменьше трёпа и побольше науки в СМИ. Мультимедийно, буквально на детском уровне, объяснять, как распространяется инфекция, как легко она может расширяться – и как действенно её пресекают простые меры изоляции.

● Не помогают слова – вводить и при необходимости ужесточать административное принуждение. Но, конечно, не в опричной манере, а прицельно и соразмерно. Благо, что практически все страны мира это вводили, и образцов было множество.

● И это не приводит к успеху – проявить волю, держать карантин, пусть плохой, но уж какой есть. Держать, пока «k₂₄» не упадёт ниже 0,05 и продержится там хотя бы 3 недели.

● И распечатать уже, наконец, свой заветный общак, поддержать если не всех, то тех, кто просто на грани голодной смерти.

And victories are urgently needed to justify the safety of two great Putin artifacts: a parade during the plague and a constitutional plebiscite during the plague. Our brave president hastened to appoint them from his shelter, having barely managed to weaken the quarantine (which in Russia has never officially been named quarantin, but slippery, in the spirit of the Kremlin Newspeak, was called some kind of palliative neologisms).

But what was required? Nothing supernatural:

● Monitor a very simple parameter «k₂₄» or any of its analogues (the mathematics of epidemic modeling has been developing since the 1920s, there is plenty to choose from!).

● Seeing that the quarantine is failing, does not ensure the proper fall of «k₂₄», immediately launch an explanatory campaign in all mass media under a simple slogan: “Either isolate yourself for real, but only for a month, or flaunt and sabotage, but then do not wait for quarantine to be canceled earlier than after two months". In general, less chatter and more science in the media. Explain by multimedia, literally at the children's level, how the infection spreads, how easily it can expand - and how effectively simple isolation measures prevent it.

● Words do not help – introduce and, if necessary, tighten administrative coercion. But, of course, not in an oprichnina manner, but precisely and proportionately. Fortunately, almost all countries of the world introduced this, and there were many samples.

● This does not lead to success too – to show will, to keep quarantine, albeit bad, but what it is. Hold until «k₂₄» drops below 0.05 and lasts there for at least 3 weeks.

● And finally, to open your coveted common fund, to support, if not all, then those who are simply on the verge of starvation.

Бездарное проведение и слишком ранняя отмена карантина – это математически неизбежные последствия в виде сотен тысяч или миллионов лишних инфицирований, тысяч или десятков тысяч лишних смертей. Их можно спрятать для официальной статистики, но математика-то их всё равно видит.

Будь я Высшим Судией, я бы трактовал такое поведение как геноцид. Но как научный атеист я, увы, исхожу из того, что кресло Высшего Судии пусто и даже вовсе не существует... Тем хуже мерзавцам: правовой вакуум в истории частенько заполнялся линчеванием.

The incompetent conduct and too early quarantine withdrawal have mathematically unavoidable consequences in the form of hundreds of thousands or millions of unnecessary infections, thousands or tens of thousands of unnecessary deaths. They can be hidden for official statistics, but mathematics still sees them.

If I were the Supreme Judge, I would interpret such behavior as genocide. But as a scientific atheist, I, alas, proceed from the fact that the seat of the High Judge is empty and does not even exist at all ... All the worse, bastards: the legal vacuum in history was often filled with lynching.

Но вернемся на землю.

Изложенный выше алгоритм анализа статистики эпидемии позволяет планировать и оперативно менять наилучшую политику карантинов (вернее, наименее плохую), предсказывая будущее течение эпидемии в зависимости от текущего или намеченного уровня «k₂₄». При этом, впрочем, связь между величиной «k₂₄» и пакетом карантинных мер надо будет находить чисто эмпирически.

Протерпев шесть-семь недель в режиме довольно жёсткого карантина, можно, как показывает опыт (почти) всех стран, радикально снизить число инфицированных и вновь заражаемых. Снизив число инфицированных и/или «k₂₄» до приемлемого уровня, можно перейти к какому-то ослабленному карантинному режиму или даже не карантинному, а какому-то превентивному, опытным путём нащупывая компромисс между требованиями экономики и психологии, с одной стороны, и необходимостью удерживать «k₂₄» < ~0,06.

В таком режиме число инфицированных будет вяло падать или вяло расти, но, поскольку оно радикально снижено за время жёсткого карантина, это не будет апокалипсисом. Мы не запрещаем из-за автоаварий, рака лёгких и цирроза печени ни автопром, ни торговлю табаком и водкой, так что легко переживём ярмо ещё одной кровавой дани на алтарь Бессмысленной Мировой Экономики. О смертях от COVID-19 перестанут трубить в СМИ, и несколько ежедневно умирающих одышливых стариков, изредка разбавляемых более молодыми неудачниками, оплатят остальным право прожигать свою жизнь дальше почти в прежнем виде.

А далее вирус будет мутировать и терять патогенность. Накопится коллективный иммунитет. Подберут оптимальные схемы лечения и блокировки кластерных цепочек. Потом, вероятно, появится и вакцина.

Чем больше природа и наука будут снижать k_24(t), тем больше правительства смогут ослаблять заслоны против COVID-19.

But back to earth.

The above algorithm for analyzing the statistics of the epidemic allows one to plan and quickly change the best quarantine policy (or rather, the least bad), predicting the future course of the epidemic depending on the current or intended level of «k₂₄». However, the relationship between the value of «k₂₄» and the package of quarantine measures will need to be found purely empirically.

Having suffered six to seven weeks in a rather strict quarantine mode, it is possible, as the experience of (almost) all countries shows, to drastically reduce the number of infected and newly infected. By reducing the number of infected and/or «k₂₄» to an acceptable level, one can switch to some weakened quarantine regime or even not quarantine, but some preventive one, empirically groping for a compromise between the requirements of economics and psychology, on the one hand, and the need to keep «k₂₄» < ~0.06.

In this mode, the number of infected people will fall sluggishly or grow sluggishly, but since it is radically reduced during the hard quarantine, this will not be an apocalypse. Due to car accidents, lung cancer and liver cirrhosis, we do not prohibit the auto industry or the trade in tobacco and vodka, so we can easily survive the yoke of another bloody tribute to the altar of the Meaningless World Economy. The deaths from COVID-19 will cease to be trumpeted in the media, and several daily dying breathless old people, occasionally diluted with younger losers, will pay the rest the right to burn their lives further in almost the same way.

And then the virus will mutate and lose pathogenicity. Collective immunity will accumulate. They will find optimal treatment regimens and blocking of cluster chains. Then, probably, a vaccine will appear.

The more nature and science reduce k_24(t), the more governments will be able to weaken the barriers against COVID-19.

И наш император, нежа ступни о теплый собачий бок в какой-то из своих величественных резиденций за непроницаемыми периметрами и перелистывая альбом своих наград, вспомнит далёкий 2020-й и, привычно пожевав впалыми щеками для формулировки мысли, вымолвит с передышками бессловесному другу:

— Ну чё, Трампик?

        Всех я победил.....

                И ковида победил.....

                        Да...........

И чё бы вы, псы, без меня делали, э?..

And our emperor, basking his feet on the warm dog’s side in one of his magnificent residences behind impenetrable perimeters and turning over the album of his awards, will remember the distant 2020 and, habitually chewing sunken cheeks to formulate thoughts, will utter, with breathers, to the wordless friend:

— Well, what, Trumpic?

        I defeated all .....

                And covid defeated .....

                        Yes ...........

And what would you dogs do without me, eh?..

Да, чем больше мы расширяем круг знания, тем шире периметр неизвестного, и потому всякое хорошее повествование должно оканчиваться новыми вопросами. Позвольте же и мне, подобно Трампику, оставить без ответа интересный многомировой вопрос императора и на сём прекратить дозволенные речи.

Yes, the more we expand the circle of knowledge, the wider the perimeter of the unknown, and therefore any good story should end with new questions. Let me, like Trumpic, leave unanswered the emperor’s interesting multi-world question and stop this permitted speech.

СТАТУТ

ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества

1. ИМПЕРАТОРСКИМ орденом Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества награждаются высшие государственные деятели за исключительные заслуги в организации спасения Святой и Неделимой России и человечества от коронавирусного вторжения 2020 года.

2. ИМПЕРАТОРСКИМ орденом Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества могут быть награждены за выдающиеся заслуги перед Святой и Неделимой Россией и человечеством и личный вклад в умаление последствий коронавирусной атаки 2020 года главы (руководители) зарубежных государств.

3. Знак ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества носится на орденской цепи или на плечевой ленте. При ношении знака ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества на плечевой ленте она проходит через правое плечо.

4. Ношение знака ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества на орденской цепи осуществляется, как правило, в особо торжественных случаях.

Звезда ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества носится на левой стороне груди и располагается ниже орденов, носящихся на колодках.

5. При ношении ленты ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества на планке она располагается выше других орденских лент.

6. При ношении ленты ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества в виде розетки она располагается на левой стороне груди выше других орденских лент в виде розеток.

7. После вручения награжденному ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества Особая Его ИМПЕРАТОРСКОГО Величества канцелярия ИМПЕРАТОРСКОЙ Гвардии Святой и Неделимой России обеспечивает изготовление позолоченного скульптурного портрета награжденного орденом.

8. Скульптурный портрет награжденного ИМПЕРАТОРСКИМ орденом Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества выставляется в Восточной Колоннаде ИМПЕРАТОРСКОГО музея великой истории Святой и Неделимой России имени ГОСУДАРЯ ВЛАДИМИРА ИЗНАЧАЛЬНОГО.

9. Оцифрованная копия скульптурного портрета награжденного ИМПЕРАТОРСКИМ орденом Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества освящается в Первопрестольном ИМПЕРАТОРСКОМ СВЯТОВЛАДИМИРСКОМ Храме Патриархом Всея Руси и в Казанской ИМПЕРАТОРСКОЙ Великой Мечети Верховным Муфтием Всея Руси и навечно помещается в Памятную ИМПЕРАТОРСКУЮ Почитальню Всеотеческого Суверенного Святоочищенного и Богохранимого Межустройственного Единения Святой и Неделимой России.

Посольствам Святой и Неделимой России в дружественных и нейтральных государствах, не оградившихся от неосвящённой всемирной паутины, дозволяется, по благоусмотрению, через посольственные сношалища изливать простую неосвящённую копию скульптурного портрета в соответствующие национальные уделы неосвящённой всемирной паутины.

ОПИСАНИЕ

ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества

Знак ИМПЕРАТОРСКОГО ордена Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира за Победу над Ковидием и спасение Отечества представляет собой рутениевого, покрытого якутскими бриллиантами красносельской огранки Державного Орла с рубиновыми и золотыми вставками, увенчанного тремя коронами и хранимого Священной силой Креста Святого апостола Андрея Первозванного. Крест из родия с золочением, покрытый сапфировой эмалью. На концах креста — бриллиантовые буквы «V», «V», «C», «V» (Veni, Vidi Covidus, Vici — Пришёл, Увидел Ковидия, Победил). Державный Орёл держит в лапах двух Ковидиев с поверженными золотыми коронами, Восточный Ковидий из палладия, Западный из платины. В скрепе Креста Святого апостола Андрея Первозванного помещён знак Креста Святого Равноапостольного Князя Владимира из колымского самородного золота, покрытого рубиновой эмалью, в центре в золотой розетке несущий эмалевый герб Святого Равноапостольного Князя Владимира в технике костромской ипатиевской финифти.

Высота знака — одна полупядь, ширина — две трети полупяди.

STATUTE
of the IMPERIAL Order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland

1. The IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland is awarded to top statesmen for exceptional merit in organizing the salvation of Holy and Indivisible Russia and humanity from the coronavirus invasion of 2020.

2. The IMPERIAL Order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland may be awarded for outstanding services to Holy and Indivisible Russia and humanity and for their personal contribution to mitigating the consequences of the 2020 coronavirus attack to the heads (leaders) of foreign states.

3. The badge of the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland is worn on the order chain or on the shoulder strap. When wearing the sign of the IMPERIAL ORDER on the shoulder tape, it passes through the right shoulder.

4. The wearing of the sign of the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland on the order chain is carried out, as a rule, in especially solemn occasions.

The star of the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland is worn on the left side of the chest and is located below the orders worn on the pads.

5. When wearing the ribbon of the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland on the bar, it is located above other order ribbons.

6. When wearing the ribbon of the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland in the form of a rosette, it is located on the left side of the chest above other order ribbons in the form of rosettes.

7. After delivery of the IMPERIAL Order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland to the awarded person, the Special His IMPERIAL Majesty Chancellery of the IMPERIAL Guard of the Holy and Indivisible Russia ensures the production of a gilded sculptural portrait of the person awarded the IMPERIAL order.

8. A sculptural portrait of a person awarded the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland is exhibited in the Eastern Colonnade of the IMPERIAL Museum of the Great History of Holy and Indivisible Russia named after PRINCE VLADIMIR THE PRIMORDIAL.

9. A digitized copy of the sculptural portrait of the person awarded the IMPERIAL order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland is consecrated in The First Throne IMPERIAL SAINT-VLADIMIR Temple by the Patriarch of All Russia and in Kazan IMPERIAL Great Mosque by the Supreme Mufti of All Russia and is forever placed in the Commemorative IMPERIAL Worship Page of the All-Fatherland Sovereign Holy Purified and God-Preserved Intergadgetal Unity of Holy and Indivisible Russia.

Embassies of Holy and Indivisible Russia in friendly and neutral states that have not been shielded from the unsanctified world wide web are allowed, by discretion, to pour a simple unsanctified copy of the sculptural portrait through embassy intercourse means into the corresponding national destinies of the unsanctified world wide web.

DESCRIPTION
of the IMPERIAL Order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidus and the salvation of the Fatherland

The badge of the IMPERIAL Order of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir for the Victory over Covidius and the salvation of the Fatherland is a ruthenium Sovereign Eagle, plated with Yakut diamonds of the Krasnoselsk facet, with ruby and gold accents, crowned with three crowns and kept by the Holy Power of the Cross of St. Apostle Andrew the First-Called. The Cross is made of rhodium with gilding, covered with sapphire enamel. At the ends of the Cross — diamond letters “V”, “V”, “C”, “V” (Veni, Vidi Covidus, Vici — Came, Saw Covidus, Won). The Sovereign Eagle holds in its claws two Covidus with defeated golden crowns, Eastern Covidus from palladium, Western from platinum. In the brace of the Cross of the Holy Apostle Andrew the First-Called the sign of the Cross of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir is holded, made of Kolyma native gold, covered with ruby enamel, in the center in a gold rosette carrying the enamel emblem of the Holy Equal-to-the-Apostles Prince Vladimir made in the Kostroma Ipatian enamel technique.

The height of the badge is one half-palm, the width is two-thirds of the half-palm.

4 мая – 22 июня 2020

May 4 – June 22, 2020